知识讲解_集合全章复习与巩固

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1、《集合》全章复习巩固【学习目标】1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一：集合的基本概念1．集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。2．元素与集合

2、的关系（1）属于：如果是集合A的元素，就说A，记作A。要注意“∈”的方向，不能把∈A颠倒过来写.（2）不属于：如果不是集合A的元素，就说集合A，记作。3．集合中元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。4．集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。无限集：含有无限个元素的集合。要点

3、诠释：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作，空集归入有限集。要点二：集合间的关系1．(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB，对于任何集合A规定。(2)如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做.两个集合A与B之间的关系如下：其中记号（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。2．子集具有以下性质：（1）AA，即任何一个集合都是它本身的子集。（2）如果，，那么A=B。（3）如果，，那么。3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x

4、∈A，可以推出x∈B，那么（或）。不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么（或）。4．有限集合的子集个数：（1）n个元素的集合有个子集。（2）n个元素的集合有个真子集。（3）n个元素的集合有个非空子集。（4）n个元素的集合有个非空真子集。要点诠释：空集是任何集合的，是任何非空集合的．换言之，任何集合至少有一个子集．要点三：集合的基本运算1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。2．用维恩图表示交集与并集。已知集合A与

5、B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。（2）,（3）德摩根定律：,（4）；。4．全集与补集（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作。数学表达式：若，则U中子集A的补集为（2）补集与全集的性质①②，③,。5．空集的性质空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；

6、；；。【典型例题】类型一：集合的含义与表示例1．选择恰当的方法表示下列集合。（1）“mathematics”中字母构成的集合；（2）不等式的解集；（3）函数的自变量的取值范围。【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。【解析】（1）；（2）或（3）或【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。举一反三：【变式1】将集合表示成列举法，正确的是（）A.{2，3}　B.{（2，3）}　C.{x=2，y=3}　D.（2，3）【答案】B【变式2】已

7、知集合 ∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（）Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3【答案】Ｃ例2．若含有三个元素的集合可表示为，也可以表示为，求的值。【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。【答案】【解析】由，可得且，则有或解得或（舍去）故【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。举一反三：【变式1】若。求实数的值。【答案】【解析】由，可知或或，且。（1）若，则，此时，与集合中元

8、素的互异性相矛盾，故舍去。（2）若，则，此时，符合集合的特性。（3）若，则方程无解。综上可得的