解题--由sin18°所引发的思考-周欣孟

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1、由sin18°所引发的思考周欣孟（重庆巴蜀中学）数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾。                                                   ——乔治.波利亚题目：.解析：对三角函数中两角和差正余弦公式结构很熟悉的人来说，此题简单：但是对多数学生来说，似乎此题入手就直接将用降幂公式来做了……回顾此题，利用学生的思路解下去：做到这里，就会想若知道，的值，那么此题就解出来了……，非特殊角的三角函数值，也是可以用代数方法求出来的。一、优先想到的就是构造关于的方程求解：原理：且解法一：，令，，通过试根知：为方程的根，则因式

2、分解：，则：，即.回顾下，构造三次方程需要较好的因式分解能力，简单改进下，构造二次方程直接一步到位。解法二：，则：，令，，则：，，即.既然的三角函数可以求出来，那么是不是所有非特殊角的三角函数都可以用代数法求出来？答案是肯定的！（引进大学知识）棣莫弗定理：设两个复数（用三角形式表示），则：.推广：设个复数（用三角形式表示），，……，则.利用棣莫弗定理求的值.解法三：令，（），即：，展开：所以：，，令，则：，，.由此，我们进一步可以算出的三角函数值，这样通过三角函数的和差公式可以求出任意整数度角的三角函数值。通过解法三，我们还可以得出一个很重要的结论：三角函数多倍角公式（利用等

3、式左右两边实部、虚部对应相等）当时，；；当时，；.