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1、高斯随机过程高斯随机过程高斯分布高斯分布•中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。•特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。•噪声理论、信号检测理论、信息理论••高斯过程高斯过程--统计特性最简单统计特性最简单一、高斯随机过程若随机过程X(t)的任意n维概率分布都是高斯分布的，则称它为高斯过程或正态过程。高斯过程X(t)的n维概率密度有：T−11⎡(X−M)C(X−M)⎤XXfX(x1,...,xn;t1...tn)=n/21/2exp⎢−⎥(2π)
2、C
3、⎣2⎦⎡E[X(t1)]⎤⎡mX(t1)⎤⎡C11C12..
4、.C1n⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥M=:=:CC...CX⎢⎥⎢⎥C=⎢21222n⎥⎢E[X(t)]⎥⎢m(t)⎥⎢::...:⎥⎣n⎦⎣Xn⎦n×1⎢⎥CC...C⎣n1n2nn⎦n×n从式中可以看出，高斯随机过程的n维概率分布完全由均值矢量M与协方差矩阵C所确定X二、高斯随机过程的性质1、宽平稳↔严平稳证明：T−11⎡(X−M′)C′(X−M′)⎤XXfX(x1,...,xn;t1+ε,...,tn+ε)=n/21/2exp⎢−⎥(2π)C′⎣2⎦T−11⎡(X−M)C(X−M)⎤XXfX(x1,...,xn;t1,...,tn)=n/21/2exp⎢−⎥
5、2(2π)C⎣⎦从上式可以看出，高斯随机过程的n维概率分布与时间(t,...,t)1n有关的因素，全部包含在C与中MX。若X(t)宽平稳则有：mX(ti)=mXR(t,t)=R(t−t)=R(τ)XikXkiXk−iQm′=m(t+ε)=m(t)=mXXiXiXvvQC={C},...........C′={C′}ikn×nikn×n2C=C(t,t)=R(t,t)−mm=R(t−t)−mikXikXikXXXkiX2C′=C(t+ε,t+ε)=R(t+ε,t+ε)−m′ikXikXikX22=R[(t+ε)−(t+ε)]−m=R(t−t)−m=CX
6、kiXXkiXikvv∴M′X=MXC′=C∴f(x,...,x;t+ε,...,t+ε)=f(x,...,x;t,...,t)X1n1nX1n1n所以，高斯随机过程的宽平稳↔等价严平稳。2、互不相关↔互相独立如果高斯过程X(t)在n个不同时刻t1,...,tn的状态X(t1),...,X(tn)两两互不相关，即则这些状态之间也是互相独立的。C=C(t,t)=E[(X(t)−m)(X(t)−m)]=0,(i≠k)ikXikiikk证明：由于C=0ik2⎡σ(t)0...0⎤1⎢2⎥v0σ(t)...:则:C=⎢2⎥⎢::...:⎥⎢⎥2⎢⎣0...0
7、σ(tn)⎥⎦代定义，并展开得f(x,...,x;t...t)X1n1n⎡n−2⎤11[xm(t)]ii=n/2exp⎢−∑2⎥(2π)σ(t1)⋅⋅⋅σ(tn)⎣2i=1σ(ti)⎦n21⎡[x−m(t)]⎤ii=∏exp⎢−2⎥i=12πσ(ti)⎣2σ(ti)⎦=f(x;t)⋅⋅⋅⋅f(x;t)X11Xnn由互不相关→互相独立。证毕。1.已知随机过程X(t)=Acosωt+Bsinωt00其中A与B是相互独立的高斯变量，E[A]=E[B]=0222且,,E[A]=E[B]=σω为常数。求此过程的一、二维0概率密度。解：在任意时刻ti对过程X(t
8、)进行采样，由于它是高斯变量A与B的线性组合，故X(ti)也是高斯变量。从而可知，X(t)是一高斯过程。为确定高斯过程X(t)的概率密度。只要求出X(t)的均质和协方差函数即可。E[X(t)]=E[Acosωt+Bsinωt]=E[A]cosωt+E[B]sinωt=00000R(t,t+τ)=E[X(t)X(t+τ)]=E[(Acosωt+Bsinωt)(Acosω(t+τ)+Bsinω(t+τ))]X000022=E[A]cosωtcosω(t+τ)+E[B]sinωtsinω(t+τ)0000+E[AB]cosωtsinω(t+τ)+E[AB]
9、sinωtcosω(t+τ)0000因为A与B相互独立，有E[AB]=E[A]E[B]=0，则22R(t,t+τ)=E[A]cosωtcosω(t+τ)+E[B]sinωsinω(t+τ)X00002=σcosωτ=R(τ)0X可求得X(t)的均方值和方差为22ψ=R(0)=σ<∞XX222σ=R(0)−m=σXXX由上可知，高斯过程X(t)为平稳过程，其一为概率密度为21⎛x⎞f(x)=exp⎜−⎟X⎜2⎟2πσ⎝2σ⎠其二维均值矢量和协方差矩阵为v22v⎛0⎞⎛σσcosω0τ⎞M=⎜⎟CX=⎜⎜22⎟⎟X⎜⎟σsinωτσ⎝0⎠⎝0⎠则其二维概
10、率密度为221⎛x−2xxcosωτ+x⎞⎜11202⎟f(x,x;τ)=exp−X122⎜22(1−cos
