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1、Levy过程及其在金融领域中的应用复旦大学管理学院张新生二个例子MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.2RafalWeronHeavytailsandelectricitypricesTheDeutscheBundesbank’s2005AnnualFallConference(Eltville,10-12November2005):概要Levy过程简介Levy过程在数理金融中的应用Levy过程的统计分析Levy过程的进一步推广Levy过程的定义：设
2、{X(t),t≥0}是一随机过程：如果（1）X(t)具有平稳独立增量（2）P(X(0)=0)=1（3）X(t)具有右连左极的轨道（4）X(t)是随机连续的,即,对任意a>0,s≥0,当t→s有P(
3、X(t)-X(s)
4、>a)→0LevyProcesses:1930s-1940sPaulLevy(France)AlexanderKhintchine(Russia)KiyosiIto(Japan)Levy过程的三种刻画Levy-Khintchine公式：称为Levy三元组，ν称为Levy测度Levy过程的三种刻画Levy-Ito分解：X(t)=布朗运动+常数漂移+复合Poisson过程
5、+纯跳鞅是一Poisson随机测度，且与布朗运动Bt相互独立Levy过程的三种刻画Levy过程是Markov过程：转移半群：T(t)f=Ef(x(t))无穷小算子：Levy过程的例子Levy-Ito分解变为：Subordinator：关于时间t单调递增的Levy过程，此时Levy三元组应满足：Levy过程的例子稳定过程：Levy三元组：Levy过程的例子Gamma过程Levy三元组：过程的一维分布：Levy过程的例子正态逆Gauss过程：Levy三元组：过程的一维分布：Levy过程的例子Levy三元组t=1时，过程的一维分布：J1第一类Bessel函数,Y1第二类Bessel函数双
6、曲线的Levy运动在金融领域的应用定价中的几何Levy过程模型：资产价格：St满足：Zt是Levy过程。在几何Levy过程模型下，市场一般是一不完备的市场，等价鞅测度不唯一，如何选择一合适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的主要问题。具体的Levy过程(1)Stableprocess(Mandelbrot,Fama(1963))(2)Jumpdiffusionprocess(Merton(1973))(3)VarianceGammaprocess(Madan(1990))(4)GeneralizedHyperbolicprocess(Eberlein(1995)(5)CGMY
7、process(Carr-Geman-Madam-Yor(2000))(6)NormalinverseGaussianprocess(Barndorff-Nielsen)(7)Finitemomentlogstableprocess(Carr-Wu(2003))Morton模型其中：Wt标准布朗运动，Nt为Poisson过程Yi独立同分布，服从正态分布，且Wt,Nt,Yi相互独立可供选择的等价鞅测度(1)MinimalMartingaleMeasure(MMM)(Follmer-Schweizer(1991))(2)VarianceOptimalMartingaleMeasure(
8、VOMM)(Schweizer(1995))(3)MeanCorrectingMartingaleMeasure(MCMM)(4)EsscherMartingaleMeasure(ESMM)(Gerber-Shiu(1994),B-D-E-S(1996))(5)MinimalEntropyMartingaleMeasure(MEMM)(Miyahara(1996),Frittelli(2000))参考文献R.Cont,P.Tankov(2003).Financialmodellingwithjumpprocesses.ChapmanandHall/CRCPress.J.M.Corc
9、uera,D.Nualart,W.Schoutens(2005).CompletionofaLevymarketbypower-jumpassets.FinanceStoch.9,109-127.E.Eberlein,J.Jacod(1997).Ontherangeofoptionsprices.FinanceStoch.1,131-140.Frittelli,M.(2000),TheMinimalEntropyMartingaleMeasuresandtheValu
