热传导反问题.pdf

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1、1凝固问题简化的模型dXtt第六讲具有移动边界的热传导p问题——Stefan问题的解析OxltwrgX()t能量平衡相界面的位置tdXtt-pwqconduct=lttpw-dXX()tl=rgtqpXd()ttq=rgdXl(ttpw-)latentdtt=X()dXdtrgOxl2l(ttpw-)tX()tt=wrqq=rgconductlatentgX()tt:c=0X()tp2过冷液体的凝固问题相界面的移动速度tdXdXl()tt-pwt=ptldt2rgtdX1O:xdttlrgX()t1数学模型和定解条件数学模型的待定系数法¶¶tt2从前面半无限介质的导热问题的解可知ll=al2¶

2、¶txxxerfc()=-1erf()x®¥=ttl¥44aattllt==0tt2l¥¶¶tt是方程ll的一个解。我们试探=att=l2lXp¶¶tx¶tdX()t-=lrg¶xdtxt=+tBerfc()能否成为上面问题的解。l¥4atl相界面的条件检查边界条件和初始条件XxtlX=tpptt=+¥Berfc()tl=+t¥Berfc()4alt4atltt-p¥B=xXx®¥erfc()0®=tterfc()l¥4at4atlltt-p¥xtpl=const®X=k4aBt®=t=0erfc()0®=tterfck()l¥4alt¶t22dX()tkal-ll=llBkexp(-)==r

3、llgrgX¶xdp4atttt=tt=+tBerfc()llXpp¥4at21lllBexp(-=k)kargllp3半空间的溶解过程相界面位置的求解dX1t2llBexp(-=k)kargllpt0tcplp(tt-¥)k2l=keerfck()tgppO从以上超越方程即可求出界面的位置。xlr值得注意的是相界面X=ka4tlgX()t2控制方程和边界条件数学模型的待定系数法2从前面半无限介质的导热问题的解可知¶¶ttll=al2¶¶txxerf()x==0ttl04atlt==0ttlp2¶¶tt是方程ll的一个解。我们试探ttlXp==al2¶¶tx¶tdX()t-=lrgll¶xdt

4、xt=+tBerf()能否成为上面问题的解。l04atl相界面的条件检查边界条件Xt=tt=+tBerf()lXpp04atxlt=+tBerf()t--tttxl0pp00B=®t=+terf()4altXXl04aterf()erf()l44aattxllx=0erf()0==tttt-l0p¥t=const®X=k4aBt®=4altplerfk()X¶t22dX()tkalt=tt=+tBerf()-ll=-llBkexp(-)==rllgrglXpp0¶xdp4attt4atllæök21-lBexpç÷-=karglllèø4alp4半空间内的凝固过程相界面位置的求解æö2dXk1

5、ttllBexpç÷-=karglllèø4alpcplp(tt0-)k2=keerfck()tgpptw从以上超越方程即可求出界面的位置。Oxllls值得注意的是相界面X=ka4ltrrlsgX()t3控制方程和边界条件待定系数法2¶¶ttssx=as2t=+tAerf()¶¶txsw4atsx==0ttswxt=+tBerfc()l¥4at2l¶¶ttll=a相界面l2¶¶txæöXt-=tAerfç÷x®¥=ttpwl¥ç÷4atèøst==0ttl¥æöXt-=tBerfcç÷p¥ç÷4atèøl춶ttdXïlsl-=lrgsllæXXöæöí¶¶xxdtt+Aerfç÷=+tBe

6、rfcç÷wç÷¥ç÷ïîtlsp==tt(相界面）è44aaslttøèø试探解中的系数解的形式æöx-=ç÷XX®=erf()ttAkerfpwç÷tt-4atèø44aassttsw=sæöXXattpw-erf()kt-t=Bkerfcç÷®=sp¥ç÷èø44aallttalxerfc()æöastt-4att+Aerf()k=+tBkerfcç÷l¥lw¥ç÷=aèøltt-æöap¥erfcç÷kst--tttAB==pwp¥ç÷aerf()kæöaèølerfcç÷ksç÷aèøl5轴对称的凝固问题相界面的位置tdXtl¶¶ttdX线lsl-=lrgsll¶¶xxdt热-k2a

7、st-k2a汇pelatt-eklgp+=lsp¥twerf()klsalttpw-ascpl(ttpw-)Oerfck()arllllsrrlsgX()t4控制方程和边界条件待定系数法2r¶¶ts=atss¶æöç÷rts=-ABEi()4at¶tr¶¶rrèøs2rt=-tCEi()l¥4at¶¶tat¶æöllll=ç÷rr2¶tr¶¶rrèø¶t2B-s4at=-esr®¥=tt¶rrl¥