资源描述：
《随机向量的函数及其应用 赵树杰 20120919.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、随机向量的函数及其应用赵树杰2012.09.19引言序序随机信号通过系统或经过处理后，输出的随机信号与输入的随机信号之间就形成函数或变换关系。我们需要研究由已知的输入随机信号的统计特性得到输出随机信号的统计特性。这个问题的数学基础就是随机变量、随机向量的函数问题。引言讨论三个问题我们知道，随机信号统计特性的完整数学描述可以是它的概率密度函数(PDF),所以下面主要讨论随机变量函数、随机向量函数的概率密度函数关系。讨论三个问题1.随机变量的函数；2.随机向量的函数；3.正态随机向量的特性与变换。引言说明附说明1.限于讨论实的、连续的随机变量、随机向量；2
2、.证明、推演简略或略；3.概率密度函数若省略随机变量、随机向量的取值区间，默认为取值区间为到；4.所用符号可能与教材不一致。附请教几个问题。一随机变量的函数1.函数2.雅可比变换1.随机变量的函数设是一个随机变量(RV)，则就是随机变量的函数；也是一个随机变量。2.一维雅可比变换若已知随机变量的概率密度函数，则随机变量的概率密度函数，可由一维雅可比变换得到。函数，如果反函数存在，且对连续可导，则有一随机变量的函数2.雅可比变换称为一维雅可比变换。式中是雅可比；表示取绝对值；，。一随机变量的函数3.举例3.举例例1.1设随机变量，函数(线性函数)，求随机
3、变量的PDF。解：由函数,则反函数，雅可比。于是得即。通常称为归一化处理。一随机变量的函数3.举例例1.2设随机变量的PDF为是均值,方差,对称于均值的三角分布。函数(线性函数,其中是常数)。求随机变量的PDF。解：由函数,则反函数,雅可比。一随机变量的函数3.举例于是得随机变量的PDF为是均值,方差,对称于均值的三角分布(注意随机变量的取值区间)。和的图形如图1.1所示。一随机变量的函数3.举例图1.1和的图形如果再令函数则随机变量是均值,方差的、对称于均值的三角分布。一随机变量的函数3.举例例1.3设随机变量,函数(非线性函数)。求随机变量的PDF
4、。解：函数,反函数；雅可比的绝对值。于是一随机变量的函数3.举例由表达式,最终得随机变量是服从自由度为的分布,如图1.2所示。图1.2分布曲线()一随机变量的函数4.两个结论(1)若函数是线性函数(变换),则随机变量所属的分布同随机变量所属的分布,但随机变量分布的参数将变化,见例1.1,例1.2；特别是(是任意常数)这种最简单的线性函数(变换)时,的分布参数仅均值,其他分布参数同的分布参数,见例1.2。所以，的图形是的图形沿横坐标平移。（2）若函数是非线性函数(变换),则随机变量所属的分布将不同于随机变量所属的分布,见例1.3。4.两个结论一随机变量的
5、函数5.函数的均值和方差5.随机变量函数的均值和方差若函数,则随机变量的均值和方差可由如下方法求得。(1)方法Ⅰ：由一维雅可比变换求出,则(2)方法Ⅱ：将和一随机变量的函数5.函数的均值和方差代入式则得代入式则得结果说明，要求随机变量的函数的均值和方差,并不一定要求出的,而只需知道随机变量的就够了。类似地，任意阶矩为一随机变量的函数5.函数的均值和方差举例例1.4若随机变量,求随机变量(非线性函数)的均值和方差。解：由题及例1.3知一随机变量的函数5.函数的均值和方差举例(1)按定义求随机变量的均值和方差。一随机变量的函数5.函数的均值和方差举例(2)
6、按函数求随机变量的均值和方差。结果相同一随机变量的函数6.应用概述6.应用概述建立信号模型,研究信号的统计特性。决定信号处理的系统和方式。线性检波器,平方律检波器,线性放大器,对数放大器；常规滤波,自适应滤波,。具体：杂波抑制时,瑞利杂波,对数-正态杂波,韦布尔杂波等,统计特性不一样,处理方式与系统也不一样。信号处理系统硬软件设计，需要统计特性。信号处理系统性能研究,也需信号的统计特性。二随机向量的函数1.函数2.维雅可比变换1.随机向量的函数设是维随机向量,则就是随机向量的函数,也是维随机向量。2.维雅可比变换若已知随机向量的维联合概率密度函数,则随
7、机向量的维联合概率密度函数,可由维雅可比变换得到。二随机向量的函数2.维雅可比变换随机向量的函数如果反函数存在,且对连续可导,简记,则有称为维雅可比变换。式中为雅可比行列式,且为二随机向量的函数2.维雅可比变换二随机向量的函数3.应用概述3.应用概述(例子)若接收信号为其中,信号是随机振幅与随机相位信号,和已知,且相互统计独立；噪声是零均值、功率谱密度为的加性高斯白噪声。信号处理后,会得到复信号二随机向量的函数3.应用概述为进一步处理(状态判决,特征提取,和差归一化,性能分析等),需求出包络和相位及其统计特性,。怎么求统计特性,？利用正态随机变量的特性
8、和二维雅可比变换来求得。二随机向量的函数3.应用概述由前面的式和式,得则条件正态互不相关二维雅
