行程之相遇问题(五)环形相遇问题.doc

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1、陈仁间整理之行程问题五、环形跑道相遇问题例1.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久?解析：设跑到全长为S，甲乙第一次相遇共同走了AB，第二次相遇走了S+AB，第一次相遇两人走了8分钟，第二次相遇又走了6+10=16分钟，故两人共同走AB时间是走全长S时间的一半，根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故AB=0.5S，甲走AB用时6+8=14分钟，故甲环形一周用时28分钟。（16+6）÷8=2（全程是AB的

2、2倍）（6+8）×2=28（分钟）答：甲环行一周需要28分钟。2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度?解析，由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了60*3=180米，已跑了全长减去80米，故1.5S=S-80+180，解得全长S等于200米。解：设全长为x米。1.5x=x-80+60×3X=200答：跑道的长度为200米。例3.甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步

3、，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米。如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次?分析：第一次相遇时行一个全程，用时：90÷(2+3)=18S；此后每次相遇都行两个全程，都用时18×2=36秒，(600-18)÷36=16……4，故10分钟内二者相遇了16+1=17次。90÷(2+3)=18（秒）(10×60-18)÷（18×2）=16……416+1=17（次）答：10分钟内共相遇了17次陈仁间整理之行程问题陈仁间整理之行程问题例4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑

4、，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了1/5，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，这条椭圆形跑道多长?解析：如下图所示，A点为出发点，因跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，故第一次相遇点B距A为全程的3/5，当甲跑完一圈到达A点时，乙到达C点，距离A点为1/3，此时甲加速1/3，甲乙速度比变为2:1，故当乙跑完一圈到达A点时甲到达了C点，二者距离为全程的1/3，此时乙加速1

5、/5，甲乙速度比变为4:12/5=5:3，此时变为路程为全长1/3的相遇问题，当甲乙第二次相遇时，乙走了全长1/3的3/8，也就是全长的1/8，所以两次相遇点之间距离BD为全长的3/5-1/8=19/40，故椭圆形跑道全长为190÷19/40=400米。全程的1/3的相遇时乙返回的路程：【2×（1+）】÷【3×（1+）+2×（1+）】×=190÷（-）=400（米）答：椭圆形跑道全长为400米。例5.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲5米/

6、秒，乙4米/秒。每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要多少秒钟?分析：100÷(5-4)=100秒，100×5=500（米），500÷100-1=4（次）一共休息4次。用时100+4×10=140秒。而乙行了100×4=400米，400÷100-1=3次，用时100+3×10=130秒，乙休息10秒后刚要跑，此时甲追到，所以，甲追上乙用时100+4×10=140（秒）。100÷(5-4)=100（秒）100+（100×5÷100-1）×10=140（秒）陈仁间整理之行程问题陈仁间整理之行程问题

7、答：甲追上乙需要140秒钟。例5.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走80米。如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?分析：甲走完一周需要时间：300÷120=2.5（分钟），乙走完一周需要时间：300÷100=3（分钟），丙走完一周需要时间：300÷80=（分钟），那么再次相聚在跑道同一处的时间为这三个时间的最小公倍数：[2.5,3,]=30(分钟)甲：300÷120=2.5（分钟）乙：300÷1

8、00=3（分钟）丙：300÷80=（分钟）[2.5,3,]=30(分钟)答：30分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处。例6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?分析：甲行走45分钟，再行走70-45=25分钟即可走完一圈。而甲乙两人行45分钟相遇即两人共同走完一圈，所以甲行25分钟的路程相当