数理统计 2_2.ppt

《数理统计 2_2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2.2估计量的优劣标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的优劣?常用标准(1)无偏性(3)有效性(2)相合性§2.246若,则称是的无偏估计量.无偏性无偏定义我们不可能要求每一次由子样得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.若,则称是的渐进无偏估计量.称为估计量的偏差.定义的合理性47是母体X的子样,证明:不论X服从什么分布(但期望存在),总是的无偏估计量.证例1设母体X的k阶矩存在因而由于例1

2、48特别地子样二阶原点矩是母体是母体期望E(X)的子样均值无偏估计量的无偏二阶原点矩估计量49例2设总体X的密度函数为为常数为X的一个样本证明与都是的无偏估计量.证故是的无偏估计量.例250令即故nZ是的无偏估计量.51(1)(2)证前已证证明例3(n>1)为子样.例3设总体X的期望与方差存在,不是的无偏估计量;是的无偏估计量.52因而故证毕.注意区别当n较大时，子样方差子样二阶中心矩两者关系53例4设例4是总体的样本,试判别的估计量是否具有无偏性？解否,证明如下:于是已知从而54由例4可见：虽

3、有但未必有一般若是的无偏估计，不是的线性函数,那么不是的无偏估计.55例5设是总体X的一个样本,X~B(n,p)n>1,求p2的无偏估计量.解由于子样矩是母体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成母体矩的线性函数,然后用子样矩作为母体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.令例556因此,p2的无偏估计量为故57定义设是母体参数则称是母体参数的相合(或一致)估计量.的估计量.若对于任意的,当n时,相合性依概率收敛于,即相合性估计量仅在样本容量n足

4、够大时,才显示其优越性.相合58关于相合性的两个常用结论1.子样k阶矩是母体k阶矩的相合估计量.是的相合估计量.由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为相合估计量在一定条件下,极大似然估计具有相合性2.设是的无偏估计量,且,则59都是的无偏估计量,若则称比有效.定义设有效性有效若的所有二阶矩存在的无偏估计量中存在估计量使对任意无偏估计量有则称是的最小方差无偏估计(量).的求法要用到充分统计与完备统计.从略60问题无偏估计的方差是否可以任意小？若答案否定，那么它的下限是什么？

5、这个下限能否达到？为此引入下面定理,即罗-克拉美(C.R.Rao–H.Cramer)不等式61定理设为实数轴上的开区间，是母体X的分布密度族，是X的子样,是的无偏估计.若以下三条件(即正规条件)满足：(1)集合与无关；(2)存在，且对中一切有和罗—克拉美62其中(3)则罗-克拉美）不等式63若离散母体X的分布列为且满足定理中的正规条件,则罗-克拉美不等式是64称为的优效估计量.当时,称为无偏估计量方差的下界.在满足正规条件的估计量族范围内优效估计是最小方差无偏估计.设的无偏估计为,则称为估

6、计量的效率，记为若估计量满足则称为的渐近优效估计量.65所以,比有效.是的无偏估计量,问哪个估计量有效？由例2可知,与都为常数例6设母体X的密度函数为解，例666例7设总体X，且E(X)=,D(X)=2为总体X的一个样本证明是的无偏估计量(2)证明比有效证(1)例7(1)设常数67(2)而结论算术均值比加权均值有效.68例如X~N(,2),(X1,X2)是一子样.都是的无偏估计量由例6(2)知最有效.69例8设母体X的密度函数为为X的一个子样值.求的最大为常数解由似然函数例8似然估

7、计量,并判断它是否的优效估计.70的最大似然估计量为它是的无偏估计量.71由故是的优效估计.72例9为常数则是的无偏、优效、相合估计量.证由前例知是的无偏、优效估计量.所以是的相合估计量,证毕.例973例10设正态母体X~N(,2),问和对于解例10分别是和的优效估计吗？令又所以是的优效估计.74对于令得的罗-克拉美下界所以不是的优效估计.75解注意到是X1,X2,…,Xn的线性函数,补充题补充题设总体X~N(,2),为X的一个样本,常数k取何值可使为的无偏估计量767

8、7故注解题中最易发生错误是78