概率论与数理统计第五讲.ppt

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1、概率论与数理统计连续型随机变量及其概率密度随机变量的分布函数11o2o1.连续型r.v及其密度函数的定义一、连续型随机变量及其概率密度3o设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x),满足条件且对于任意两个实数a,ba可以为b可以为则称X为连续型r.v,称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度.2故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.若x是f(x)的连续点，则：=f(x)对f(x)的进一步理解:3要注意的是，密度函数f(x)在某点处

2、a的值，并不反映X取值a的概率.若不计高阶无穷小，有：但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.即在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.=f(x)f(x)xoa4连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值因为：注意:由此得，1）对连续型r.vX,有52)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S6若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)它的实

3、际背景是：r.vX取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.1.均匀分布二、三种重要的连续型随机变量7例1某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位8为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每

4、15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.9则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命（无记忆性）.若r.vX具有概率密度常简记为X~E().2.指数分布10若r.vX的概率密度为记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.3.正态分布11标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数用表示12为了对离散型的和非离散型的r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，我们引进分布

5、函数的概念.三、随机变量的分布函数1、定义：设X是一个r.v，x是任意实数，称为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).———

6、——>x13由定义，对任意实数x1

7、,3,…则F(x)=P(Xx)=由于F(x)是X取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.15试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例2设有函数F(x)解：注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者16当x<0时，{Xx}=，故F(x)=0例3，求F(x).当0x<1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解:当1x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+

8、P(X=2)=117故注意右连续下面我们从图形上来看一下.18分布律图分布函数图画分布函数图19例4设r.vX的密度函数为f(x)求F(x).F(x)=P(Xx)=解：对x<-1，F(x)=0对20即对x>1，F(x)=1对21例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.解：设F(x)为X的分布函数，当x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当x>a时，F(x)=1当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)22由于P(0Xa)=1k

9、a=1，k=1/aF(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的随机变量的分布函数.当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)23求F(x).例6设由于f(x