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1、第一节随机过程的定义及其分类第二章随机过程的基本概念第二节随机过程的分布及其数字特征第三节几种重要的随机过程简介第一节随机过程的定义及其分类一、直观背景及例子电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数例1一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X(t)，t[0,24]。例2研究某一商品的销售量一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X(t)，t=1,2,…。Home例3排队模型表示依赖于一个变动参量的一族随机变量（无穷多个随机变量）。虽然它不能用一个确定的函数来描述，但
2、也是有规律的。顾客来到服务站要求服务。用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间，则它们都是随机过程。随机过程Home二、随机过程的定义1．随机过程设已给概率空间(Ω,F,P)及一参数集T，若对每一个t∈T均有定义在(Ω,F,P)上的一个r.v.X(t,ω)与之对应，则称依赖于参数t的r.v.族X(t,ω)为一随机过程。记法说明1参数集T：可离散可连续。随机序列或时间序列：{X(n),n=0,1,…}或{X(n),n≥0}HomeHome说明2参数t的含义：通常指时
3、间参数，也可是其他物理量。参数t的维数：一维、多维（随机场）。例考虑某一海面的波浪的浪高随时间的变化情况。四维说明3原因：Home对固定的样本点ω0∈Ω，X(t,ω0)是定义在T上的一个函数（确定性函数），称为X(t)的一条样本路径或一个样本函数，或轨道、现实。对固定的样本点t0∈T，X(t0)=X(t0,ω)是定义在(Ω,F,P)上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变化有一定的规律，用概率分布刻画。“随机”性变化“过程”三、随机过程的分类1、按参数集和状态分类参数集T的是一个可列集T
4、={0，1，2，…}离散参数连续参数参数分类参数集T的是一个不可列集状态分类离散状态连续状态取值是离散的取值是连续的HomeT离散、S离散T离散、S非离散（连续）参数T状态S分类概率结构分类2．按过程的概率结构分类T非离散（连续）、S离散T非离散（连续）、S非离散（连续）独立随机过程独立增量过程Markov过程平稳过程Home第二节随机过程的分布及其数字特征一、随机过程的分布函数一维分布函数分布函数一维概率密度Home如何描述随机过程的统计特性？如何描述随机变量的统计特性？二维分布函数联合分布函
5、数二维概率密度Homen维分布函数联合分布函数n维概率密度Home有限维分布族具有对称性、相容性，Kolmogorov定理（随机过程的存在性定理，证明参看王梓坤《随机过程》）随机过程统计特性的完整描述有限维分布族一维，二维，…，n维分布函数的全体易知Home联合分布函数n+m维随机向量分布函数称为随机过程X(t)和Y(t)的n+m维联合分布函数Home相互独立分布函数则称随机过程相互独立Home例1袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量试求
6、这个随机过程的一维分布函数族。分析先求概率密度Home所以解PHome二、随机过程的数字特征1．均值函数或称为数学期望。说明Home2．方差函数说明均方差函数Home3．协方差函数二阶中心混合矩简称协方差函数注Home4．互协方差函数其中Home5．相关函数简称相关函数注Home协方差函数如何用相关函数和均值函数表示？6．互相关函数注则Home7．互不相关注有则即若HomeHome小结X(t)X(t)、Y(t)均值函数协方差函数自相关函数互协方差函数互相关函数解例2求：（1）均值函数；（2）协方
7、差函数；（3）方差函数。（1）（2）（3）Home解所以例3试求它们的互协方差函数。Home三、随机过程的特征函数1．一维特征函数则注Home2．n维特征函数则3.有限维特征函数族注HomeHome作业1-1令，其中A是随机变量，其分布律为试求：（1）随机过程的一维分布函数（2）随机过程的二维分布函数Home作业1-2设，其中A，B是相互独立，且都服从正态分布的随机变量，是实常数。试求的均值函数和相关函数。第三节几种重要的随机过程简介Home独立随机过程独立增量过程Markov过程平稳过程平稳增
8、量过程一、独立随机过程简称独立随机过程。Home二、独立增量过程是相互独立的，Home1.定义Home2.两个重要结论结论一独立增量过程的有限维分布函数族由其一维分布和增量分布完全确定。结论二独立增量过程一定是马氏过程。例1证的随机变量序列，令则Home三、平稳过程平稳过程的统计特性与Markov过程的不同，它不随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对“未来”有不可忽视的影响。Home1、严平稳过程定义1若对任意n，任意则称为严平稳过程。Home2、严平稳过程的特点1二维概率密度仅与时间差有关，
