正弦定理和余弦定理(公开课课件)_课件.ppt

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1、第五章三角函数、解三角形第六节　正弦定理和余弦定理（2）2013.11.21一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC[知识能否忆起]——上节课知识回顾2RsinB2RsinC2RsinAsinA∶sinB∶sinC定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.“AAS、ASA”“ASS”“SSS”

2、“SAS”在三角形中：①大角对大边，大边对大角；②大角的正弦值较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.[目标早知道]——本节课教学目标题组训练得方法：题型一：利用正弦、余弦定理解三角形题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状题型三：与三角形面积有关的问题利用正弦、余弦定理解三角形【考向探寻】1．利用正弦定理解斜三角形．2．利用余弦定理解斜三角形．由向量共线得到三边关系，再用余弦定理求解．答案：B法一：利用余弦定理求解．法二：利用正弦定理求解．答案：B①先求sinA，sinC，cosC，利用si

3、nB＝sin(A＋C)求解；②利用正弦定理求解.(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具体判断解的情况，常用方法是根据图形或由“大边对大角”作出判断或用余弦定理列方程求解．(2)三角形中常见的结论①A＋B＋C＝π.②三角形中大边对大角，反之亦然．③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．D利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【考向探寻】利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．【典例剖析】(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三内角A，B，C成等

4、差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为A．等边三角形B．非等边的等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形答案：A(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.①求A的大小；②若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．判断三角形形状的方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判

5、断出三角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π这个结论的运用．【活学活用】2．(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形AC与三角形面积有关的问题【考向探寻】1．根据已知条件求三角形的面积．2．已知三角形的面积，解三角形．(1)三角形的面积经常与正、余弦

6、定理结合在一起考查，解题时要注意方程思想的运用，即通过正、余弦定理建立起方程(组)，进而求得边或角．(2)要熟记常用的面积公式及其变形．作业：(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．(1)求A；谢谢！：先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角．[例2]在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求角A、B和边c的值．[变式训练2]如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三

7、角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长．解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，∴BC＝7，设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.[例3]在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a

8、·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.