定积分在几何学上的应用ppt课件.ppt

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1、四、旋转体的侧面积(补充)二、体积第二节一、平面图形的面积三、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章1曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.直角坐标系情形一、平面图形的面积2解两曲线的交点面积元素选为积分变量3解两曲线的交点选为积分变量4于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？5解两曲线的交点选为积分变量6如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积7例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式8例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:92.极坐标情形求由

2、曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为10对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停到2所围图形面积.11解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积12解利用对称性知13心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停尖点:面积:弧长:参数的几何意义14例.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积15旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积16xyo旋转体的体积为17解直线

3、方程为1819例.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)20方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积21解22星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)2324解2526分部积分注(利用“偶倍奇零”)27补充利用这个公式，可知上例中28例求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限29例设在x≥0时为连续

4、的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则故30解体积元素为312、已知平行截面面积函数的立体体积设定轴为x轴，所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.32解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积33解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积34三、平面曲线弧长定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.并称此曲线弧为可求长的.35弧长元素弧长1、直角坐标情形36曲线弧为弧长2

5、、参数方程情形37曲线弧为弧长3.、极坐标情形38解所求弧长为39解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长40例15.摆线一拱的弧长.解:41解42证43根据椭圆的对称性知故原结论成立.44解45例.求连续曲线段解:的弧长.46解47例.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:下垂悬链线方程为48四、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:49侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意

6、:侧面积为50例.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R时,得球的表面积公式51例.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性绕x轴旋转521.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小五、小结533.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下ds的表达式)绕y轴:(柱壳法)54思考题155思考题1解答xyo两边

7、同时对求导56积分得所以所求曲线为57思考题2解答交点立体体积58思考题3不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．解答59思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.602.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:方法1利用对称性旋转而成的环体体积V及表面积S.61方法2用柱壳法说明:上式可变形为上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).62求侧面积:利用对称性上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法.63练习题16

8、46566练习题1答案67练习题2686970练习题2答案71练习题37273练