变量分离方程.ppt

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1、§2.1变量分离方程与变量变换SeparableFirst-OrderODE&Transform本节要求/Requirements/1熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。2熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求更广泛类型方程的解。变量分离方程与变量变换内容提要/MainContents/1变量分离方程/VariablesSeparatedODE/分别是x与y的已知连续函数。其中特点中的f(x,y)可表示成一般的一阶方程例解法步骤/SolvingSteps/如果(1)分离变量(2)两边积分…………(2.2)用G(y)，F(

2、x)分别表示的某一个原函数(3)方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C因为将y视为x的函数，对G(y)=F(x)+C两端关于x求导，所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。如果存在直接验证得:，使得为方程(2.1)的常数解。分离变量方程（2.1）的解为解1分离变量2两边积分3例1求解方程（c为任意正常数）或者求通解解时(1)分离变量通解中，因而方程还有解y=0（3）求解方程并求出满足初始条件：当x=0时y=1的特解。例2（c为任意常数）为方程的通解。注意y=0时，也是方程的解，而其并不包含在(2)两边积分求特解将初始条件y(0)=1代入通解

3、中，得c=-1则满足所给条件的特解为:所以，原方程的解为(1)齐次方程/HomogeneousEquation/(2)可化为齐次方程的方程类型/ClassificationsofHomogenous/2可化为变量分离方程的类型/ClassificationsofVariableSeparatedEquation/(1)齐次方程/HomogeneousEquation/形式：g(u)为u的连续函数一般方程的右端函数f(x,y)是x，y的零次齐次式。即或f(x,y)可表示成以特点：解法(1)作变量变换即y=ux（2）对两边关于x求导（3）将上式代入原

4、方程，得整理……….(2.3)变量可分离方程（4）求解方程(2.3),若其解为:(5)原方程的通解为:………………………………..(2.4)(为任意常数)例3求解方程解令(为任意常数)令得:Sinu=cx（c为非零任意数）另当tanu=0时，u=0即u=0也是方程(2.4)的解故（2.4）的通解为sinu=cx（c为任意常数）代回原来的变量，原方程的通解为:可化为齐次方程的类型/ClassificationsofHomogenous/形式：……………(2.5)均为常数，且不同时为零.1.若即设则原方程可化为:令（变量分离方程，即可求解）2.若则…

5、…………..(2.6)有唯一的解:令则方程(2.5)化为：为齐次方程,即可求解。(1)解代数方程组…………….(2.6)其解为:(2)作变换将方程(2.5)化为齐次方程(3)再作变换将其化为变量分离方程特别地，当时，方程(2.5)的求解方法(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程的解。类似的方法，可求解更广泛的方程P.26例4求解方程…..(2.17)解解方程组得x=1,y=2令……….(2.18)再令……………………….(2.18)即(2.18)可化为:两边积分，得:因此记并代回原变量，得:并代回原变量，得:此外，容易验证:即也

6、是方程(2.18)的解。其中c为任意常数。因此原方程(2.17)的通解为:变量分离方程与变量变换本节小结/Conclusion/通解的形式及其中任意常数的意义。注意/Note/：课堂练习/Exercise/思考以下方程的求解方法作业:P.31.第2,3,5,8,11,13,16,18(1),21题。