线性代数子空间.ppt

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1、则称为的子空间.如果满足性质：定义4.4.1是的非空子集，简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的的非空子集.加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是n维向量空间.必要条件§4.4子空间例4.4.1若则是的子空间.对任意有证明：零向量显然在H中.任取H中两个向量有由定义，H是的子空间。定理4.4.1若是的子空间.一般地，我们有命题：等价向量组生成相同的子空间.例4.4.2过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间.例4.4.3在（欧式）空间中，设均是的子空间.XY平面XZ平面YZ平面一般地，过原点的平面是子空间的一个

2、直观描述.两个特殊的子空间：例：判别下列集合是否为向量空间.解：所以，是向量空间。(2)不是向量空间。下面引入两个与矩阵A有关的重要的子空间.定义4.4.2设A是m×n矩阵，A的列空间ColA是A的列向量的所有可能的线性组合构成的集合.易知因此，ColA也称为A的值域空间Range(A).定理4.4.2m×n矩阵A的列空间ColA是的子空间.记则例4.4.4因此，方程组相容，b在ColA中.判断b是否在ColA中.解：b在ColA中当且仅当方程组有解.定义4.4.3设A是m×n矩阵，A的零空间NulA是齐次线性方程组Ax=

3、0的所有解向量构成的集合.即定理4.4.3矩阵A的零空间NulA是的子空间.等价地，m个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解集是的子空间，称为Ax=0的解空间.证明：显然，0在NulA中.所以NulA是的子空间.任意实数k，任取NulA中两个向量例4.4.5求NulA的一个生成集.解：首先，利用初等变换可化A为行最简形取为自由变量，则解为：然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量的线性组合（解的参数形式）：则是NulA的生成集.