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1、例说预设中探究，互动中生成【摘要】这是一个方程有实根的充要条件的讨论，从探索、简化、质疑、求异四个不同的侧面展示了师生活动的全过程，通过活动纠正了学生的各种错误观念，消除了不必要的怀疑。从屮析出了各种不同的解法。【关键词】探索简化质疑求异等价转换【中图分类号IG633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2014)3-0166-02这是来自课堂教学屮一道预设案例，目的是研究一个方程有实根的充要条件，实施过程虽有曲折，但经师生的共同努力，终于顺利实现了〃等价转换〃，完成了预定的教学设想。现将师生互动、合作探索的全过程实录如下，供同行们参考。案例：若关于x的方程
2、4x+2x?a+a+l=0有实根，试求a的范围.一、探索探索有益的念头，尝试求解；虽然探索路上坎坷不平，充满荆棘，但在师生合作努力下，一步步向冃标逼近。(师)我们解题的切入点选在换元，通过换元，向一元二次方程转化，然后利用方程有根的充耍条件确定参数的取值范伟I，那位同学上来一试？［生1］：令2x=u则u2+au+a+l=0(1)T方程有实根.・•・A^O即a2-4(a+1)MO解得：aW2-2或&22+2。［师］:思路不错，知道用换元法进行转化，运用一元二次方程的根判别式求解，值得肯定。但了2x=u>0,因此解答的结果是错误，这里△$()只是原方程有实根的必要条件，大家思
3、考一下，方程(1)满足什么条件才满足原方程有实根？［生2］：根据上述讨论，我们可以知道，原方设方程(1)的两根为ul,u2,贝ij二〉-1［师h［生2］的解答中：〃原方程有实根，归结到方程(1)有正根〃这句话是止确的吗？［生3］：这句话是正确的，但解答条件加强了，加强到两个都是正根的条件。［师］:对！我们大家验算一下，a=-2,a=-4fa=-5，原方程的根的情况。师生共探：10：a二-2,方程可变为：22x-2?2x-l=0=>(2x-l)2=2=>2x=l土舍负得：2x二1+二〉x二log2(+1)20:a二-4,得22x-4?2x-3=0二>(2x-2)2二7=>2
4、x=2±舍负得:2x二2+=>x=log2(2+)更多的事实：a=-3原方程：x=log2且二-6,x=log2(3+)a=-10方程的实根为：x=log2(5+)a=-13方程的实根为：x=log2如果想举，还可以举出更多。［师h这些事实说明了什么问题呢？［生4］：方程(1)有正根，包括两个方面：10：方程有两个正根；20：方程(1)有一个正根与一个负根。方程(1)有一个正根和一个负根，则f(0)=a+l<0=>a<-l(2)由［生1］的解法和(2)得：aF(-00,-1)u(-1,2-2］这样解答就完整了吗？这时大家的思维非常活跃，见老师这样问话，不禁一楞，老师继续道
5、；我们不妨验证一下a二-1的情形：a=-l时，方程(1)有u二1与u二0两根民符合题意。因此，正确解答如下：令u二2x>0•原方程变为u2+au+a+l二0(1)•・•原方程有实根,・•・方程(1)有正根.由方程(1)有正根的条件可得：或或a=-l=>-1所以，原方程有解，实数&的取值范围为：,2-2］,［师］:我们在纠误中逐?理解题意，在转化中逐步形成正确思路，在师生合作讨论中实现等价转换，在互动与情景交融中展现探索思维的全过程。从而使正确答案顺理成章，呼Z欲出，水到渠成。二、简化［师］问题的解决，决不是思维的结朿，而是另一思维起点的开始。：反思解题的全过程，那些是可以
6、省略的，那些是可以合并的，就象郑板桥说的：“沉繁削尽留清翠，画到生时是熟时”，使解题过程更加精炼，更加趋于合理。那么本题的解题过程中那些可以省略，那些可以合并呢？注意到,"a<-l"及“沪-1”是匚寸”的情形，所以原解题过程要以简化为：令u=2x>0.则原方程可变为：u2+au+a+l=0(1)•・•原方程有实根，・••方程(1)有正根.=>aW2-2所以原方程有实根解时，a的取值范围是：（-8,2-2］,合并后解答简单明了，一日了然。大家看还有什么疑问？三、质疑「生5」：x2+2x-3=0的两根是一正一负，且负根的绝对值大于正根，即对称轴在x轴上，而本题会不会对称轴在x
7、轴的负半轴，仍然有一个根大于零呢？［师］:我们让逻辑推理说话,若存在，则U10,且ul>u2,这时应有：以上推理说明，这种情况不存在，也就是说，不必担心，ulO,且ul>u2的情形出现。［生6］：我这样想，既然原方程有实根可转化为方程（1）有正根，问题可转化为:解得：且£2-2点评：这是简化解答的等价形式。进一步指出了方程(1)的大根必须大于零。四、求异你能用不同的方法解决这个问题吗？换一个角度看问题也许别有一番天地。［解］由(1)可得：a二二-［(u+1)+-2］W2-2当且仅当u+l==＞即当，11二-1时〃二〃号成立。［
