添加辅助圆助解几何题.pdf

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1、江西省会昌县第二中学(342600)王德平江西省会昌县珠兰示范学校(342606)王晋芳解几何题，有时需要添加辅助线．很多看且BE一2AB一10．似与圆无关的问题，可以通过添加辅助圆得到故BD=~／—BE2-—DE2一√1oz一)z解决．下面举例说明．=9．例如图1，AB—AC—AD，若如图3，／DAC=kCAB，则DBC是BDC的AABC中，A的外角倍．平分线交BC的延长线于分析从条件AB===AC—AD容易联想D．到圆，可作以A为圆心、AB为半径的圆进行带{一AB图3让D——C—A———C’探索．

2、证明如图3，作△ACD的外接圆交BA的延长线于F．连结FD，则DC=DF．。．’ACB===DFB，B一B，‘．．△ABCoo△DBF．．ABAC．BDAB—BDDF’一DCAC‘(编者问：本题是如何想到要添加△ACD的外接圆的?)如图4，在2如图2，已△ABC中，C一2B，求知四边形ABCD中，AB证：AB<2AC．／／CD．AB—AC=AD一8分析从已知到结论，是由角的关系推证比5，BC=丙，求BD．、、＼，／、～一，，，、、较线段关系，容易联想到图4分析从条件AB圆周角与弦的关系，因此，—AC=

3、AD容易联想到图2可作z~ABC的外接圆．由Zc一2B，再作网，可作以A为圆心、AB为半径的圆进行探C的平分线，交圆于D，则BD=AD=AC．1索．证明如图4，作△ABC的外接圆，再作解析如图2，以A为圆心、AB为半径画C的平分线CD，交圆于D，连BD，AD．圆，则B，C，D三点在oA上．延长BA交oA由作图可知，z~ABC===／BCD—ZACD，唯于E，连结DE．‘由DC／／AB，得一，．．BD—AD—AC．在△ABD中，由三边关系得AB

4、直径，则EDB一90。，‘．．AB<2AC网址：ZXSS．cbpt．enki．net●11o电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn5如图5，已结合题意，易证G一／1一／2一H，BG—HC—CD．知直角三角形ABC中，A一90。，过斜边中点DB又3一4，‘作MD上BC，且MD一．．△BGE△CDF，‘．．BE—CF．÷BC．求证：AM平分注同理，也可构造／XBED△CFH证BAC图5得结论．分析BAC被AM平分的两个角分布7若引自三角形一顶点的高、角平在不同的两个三角形中，一般是证它

5、们所在的分线、中线四等分这顶角，则此三角形为直角两个三角形全等，但两角所在的两个三角形不三角形．全等．同时，又联想到角平分线性质定理的逆已知：如图7，△ABC的高AH，A的平定理，也行不通．考虑到△ABC是直角三角分线AD，BC边上的中线AM，且BAH=形，易联想到圆周角定理的推论，可作△ABCHAD一DAM一MAC．的外接圆，因此可沟通解题途径．求证：BAC一9O。．证明如图5，因A一90。，我们作分析考虑到要证的三角形是直角三角△ABC的外接圆，由题意可知BC是圆的直形，易联想到圆周角定理的推论，

6、可作△ABC径，点D是圆心．的外接圆，因此可沟通解题途径．·‘MD=1BC．，证明如图7，作△ABc的外接圆．延长AD交圆△ABC的外接圆于N，连MN，BN，CN．。．．MD是圆D的半径．‘．‘上，AD一DlAC，。．。MD上BC，点D是BC中点，‘．．N为BC的中点．‘．．MB—MC．。．．BN=CN。．．ZMAB=ZMAC．即AM平分BAC．．BN—CN．。．仞J6如图6，在．。M为BC的中点，△ABC中，E，F分别是。．．MNlBC．～AB，AC上的点，且。．。AHlBC。FBC一ECB—图7：

7、．AHf7MN．‘LA．求证：BE=CF．．．ANM一／HAD一NAM。‘．．MA=：=MN．分析BE和CF图6‘．’MN和MA不重合，而MN所在的分布在不同的两个三角形中，一般是证它们所．直线必过圆心，在的两个三角形全等，但BE，CF所在的两个。i三角形不全等．．M必为圆心．．考虑到角与边之间关系的转。．．BC必为直径，换，我们可以试作△ABc的外接圆加以探索．．．BAC=90。．罐证明如图6，作△ABC的外接圆．延长小结上面几个例子，题面都不涉及圆，cE，BF分别交圆于G，H，连BG，cH．我们通

8、过对条件和结论的分析，联想到圆，通因,／_FBC—ZECB专A，过添加辅助圆，一个个看似复杂的问题被我们轻松解决．故Hc—BG一专Bc，(下转第13页)即+Fc一．网址：ZXSS．cbpt．cnki．net●12●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn