R软件-医学统计分析-有序logistic回归.pdf

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1、统计学进展/累积logisitic回归模型/曾庆1累积logisitic回归模型一、理论（一）模型定义假设结局变量Y有J个有序分类，其自然结局顺序表示为Y=1,2,...,J，每个分类（结局）的对应发生概率是π1,π2,...,πJ，则其有序分类小于等于j的累积发生概率表示为P(Y≤j)=π1+π2+...+πj，因此可以通过指定累积概率P(Y≤j)的阈值将整个结局变量Y的J个有序分类从该指定阈值点截断，使之成为二项结局分类。另外有p个自变量记为X=(x1,x2，…，xp)，表示相应的影响因素（定性、定量均可）。由此定义累积log

2、it(Y≤j)函数：P(y≤j

3、x)P(y≤j

4、x)π1+π2+...+πjlogit[P(y≤j)]=ln=ln=ln1−P(y≤j

5、x)P(y>j

6、x)π+π+...+πj+1j+2J该累积logit(Y≤j)函数是两个累积概率比的对数值，它测定了结局变量Y小于等于分类j或者大于分类j的可能性大小。因为有J个有序分类结局，所以实际上可以写出至多J-1个的累积logit函数。P(y≤

7、1x)P(y≤

8、1x)π1logit[P(y≤1)]=ln=ln=ln1−P(y≤

9、1x)P(y>

10、1x)π+...+πj+2JJ−1个

11、LP(y≤J−

12、1x)P(y≤J−

13、1x)π+π+...+π12J−1logit[P(y≤J−1)]=ln=ln=ln1−P(y≤J−

14、1x)P(y>J−

15、1x)πJ将每个累积logit函数用线性函数的形式表示为logit[P(y≤1)]=β10+β11X1+...+β1pXpJ−1个Llogit[P(y≤J−1)]=β+βX+...+βXj−0,1j−1,11j−,1pp该模型就是累积logistic回归模型(cumulativelogitmodel)。对应的概率模型形式是exp(β+βX+...+βX)j0j

16、11jppP(y≤j)=1−exp(β+βX+...+βX)j0j11jpp为简化上述模型，进一步假定对于所有J-1个累积logit函数，各个自变量Xi所对应的回归系数βi都是相等的。即对每一个累积logit函数各有一个不同的截距βj0，然而对所有的累积logit函数，自变量Xi却有一个相同的βi。在此假设条件下，不同累积logit的回归线相互平行，只是截距βj0不同，这称为成比例发生比假设或平行线假设。满足平行线假设的模型简化后的是plogit[P(y≤j)]=βj0+β1X1+...+βpXp=βj0+∑βiXii=1log

17、it[P(y≤1)]=β10+β1X1+...+βpXp写成系列模型则是Llogit[P(y≤J−1)]=β+βX+...+βXJ−0,111pp该简化后的模型就称为成比例比数比累积logit模型(proportional-oddscumulativelogit统计学进展/累积logisitic回归模型/曾庆2model)。该模型有J−1截距，p个回归系数，共J+p−1个回归系数。一般认为累积logistic回归模型就是成比例比数比累积logit模型。对应的概率模型形式是exp(βj0+β1X1+...+βpXp)1P(y

18、≤j)==1+exp(β+βX+...+βX)1+exp[−(β+βX+...+βX)]j011ppj011pp使用成比例比数比累积logit模型首先需要对平行线假设进行检验。如果平行假设被拒绝，便说明自变量Xi对不同的logit有不同的βi，因而说明成比例比数比累积logit模型不适合，需要采用其他模型来进行资料的分析。（二）似然函数和对数似然函数对于有n个独立观察对象的样本，第i个观察对象Xi出现获得Y=j分类结局的概率记作Pj=P(Y=j

19、Xi)，它是累积概率函数的差，即Pj=P(Y=j

20、Xi)=P(Y≤j

21、Xi)－P(Y≤

22、j-1

23、Xi)。由此构造似然函数L为：nnJnJL=Pyi1Pyi2LPyiJ=Pyij=PY≤jXPY≤jXyij∏(i1i2iJ)∏∏(ij)∏∏[(

24、i-)(

25、1-i)]i=1i=1j=1i=1j=1式中yij表示第i个观察对象自变量（探索变量）取值Xi时已观察到结局变量Y=j等级J时所对应的编码，它满足∑yij=1，即只有一个yij取值为1（属于该类），其余均为0。j=1相应的对数似然函数LL为nJnJLL=∑∑yijln(Pij)=∑∑yijln[logit(Pij)−logit(Pi,j−1)]i=1j=1i=1j=1

26、二、实例分析【实例1】现有资料如表1所示，试使用累积Logistic回归模型考察工作满意度与性别、收入水平之间的关系。表1不同性别及收入水平人群的满意度情况性别收入水平满意度（人）（y）（gender）（income）非常不满稍微满意比较满意非常满