李正元高等数学强化讲义.doc

李正元高等数学强化讲义.doc

ID:51421319

大小:5.67 MB

页数:117页

时间:2020-03-24

李正元高等数学强化讲义.doc_第1页
李正元高等数学强化讲义.doc_第2页
李正元高等数学强化讲义.doc_第3页
李正元高等数学强化讲义.doc_第4页
李正元高等数学强化讲义.doc_第5页
资源描述:

《李正元高等数学强化讲义.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是:①掌握求极限的各种方法.②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法.③判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限).31④复合函数、分段函数及函数记号的运算.§1极限的重要性质1.不等式性质设,且A>B,则存在自然数N,使得当n>N时有xn>yn.设,且存在自然数N,当n>N时有xn≥yn,则A≥B.作为上述性质的推论,有如下的保号性质:设,且A>0,则存在自然数N,使得当n>N时有xn>0.设,且存在自然数N,当n>N时有xn≥0,则A≥0.对各种函数极限有类似的性质.例如:设,且A>B,则存在δ>0,使得当<δ

2、有f(x)>g(x).设,且存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时f(x)≥g(x),则A≥B.2.有界或局部有界性性质设,则数列{xn}有界,即存在M>0,使得|xn|≤M(n=1,2,3,…).设则函数f(x)在x=x0的某空心邻域中有界,即存在δ>0和M>0,使得当0<|x-x0|<δ时有|f(x)|≤M.对其他类型的函数极限也有类似的结论.§2求极限的方法1.极限的四则运算法则及其推广设,则只要设存在或是无穷大量,上面的四则运算法则可以推广到除“”,“”,“0·∞”,“∞-∞”四种未定式以外的各种情形.即:1°设,则.()又B≠0,则.2°设,当x→x0时局部有界,(即,使得时)

3、,则.31设,当x→x0时|g(x)|局部有正下界,(即$δ>0,b>0使得0<|x-x0|<δ时|g(x)|≥b>0),则.3°设,,则,又$δ>0使得0<|x-x0|<δ时f(x)g(x)>0,则.4°设,x→x0时g(x)局部有界,则(无穷小量与有界变量之积为无穷小.)2.幂指函数的极限及其推广设只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”,“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形.这是因为仅在这三个情况下是“0·∞”型未定式.1°设=0(0<|x-|<δ时f(x)>0),,则2°设=A>0,A≠1,=+∞,则3°设=+∞,,则【例1】设【分析】【例2】设{an},{bn

4、},{cn}均为非负数列,且则必有31(A)an<bn对任意n成立.(B)bn<cn对任意n成立.(C)极限不存在.(D)不存在.用相消法求或型极限【例1】求【解】作恒等变形,分子、分母同乘.【例2】求【解】作恒等变形,分子、分母同除得利用洛必达法则求极限【例1】设f(x)在x=0有连续导数,又求.【例2】求.31【例3】求.【例4】求.【例5】若,则.【例6】求.【例7】设a>0,b≠0为常数且,则(a,b)=__________.【分析】∞-∞型极限.因此(a,b)=.分别求左、右极限的情形,分别求的情形【例1】设,求.【例2】求利用函数极限求数列极限【例1】求.【例2】求.【解1】3

5、1转化为求【解2】用求指数型极限的一般方法.转化为求(等价无穷小因子替换),余下同前.§3无穷小和它的阶1.无穷小、极限、无穷大及其联系(1)无穷小与无穷大的定义(2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系其中o(1)表示无穷小量.在同一个极限过程中,u是无穷小量(u≠0)Þ是无穷大量.反之若u是无穷大量,则是无穷小量.2.无穷小阶的概念(1)定义同一极限过程中,a(x),b(x)为无穷小,设31定义设在同一极限过程中a(x),b(x)均为无穷小,a(x)为基本无穷小,若存在正数k与常数使得称b(x)是a(x)的k阶无穷小,特别有,称x→x0时b(x)是(x-x0)的k阶无穷小.(2)重要的等

6、价无穷小x→0时sinx~x,tanx~x,㏑(1+x)~x,ex-1~x;ax-1~xlna,arcsinx~x,arctanx~x;(1+x)a―1~ax,1―cosx~.(3)等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1°若a~b,b~gÞa~g.2°a~bÛa=b+o(b)3°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换【例1】求.【例2】设.【分析】由已知条件及.又在x=0某空心邻域f(x)≠0Þ,又3x-1~xln3.于是.【例3】设x→a时a(x),b(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小,又,则x→a时(1)a(x)h(x)是x-a的__________阶无穷小.(2

7、)a(x)b(x)是x-a的__________阶无穷小.(3)n<m时,a(x)±b(x)是x-a的__________阶无穷小.(4)n>m时是x-a的__________阶无穷小.31(5)k是正整数时,ak是x-a的__________阶无穷小.以上结论容易按定义证明。例如,已知,Þf(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小.【例4】设f(x)连续,x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小,求证:是x-a的n+1阶无穷

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。