有限维可积系统的扩展.pdf

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1、AthesissubmittedtoZhengzhouUniversityforthedegreeofMasterExtensionoffinitedimensionalintegrableSVstemt，ByMengliFanSupervisor：Prof．DianlouDuAppliedMathematicsandStatisticalInstituteApril2014学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对

2、本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。学位论文作者：挺辆学位论文使用授权声明日期：矽／必年6月弓日本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学。根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学

3、。保密论文在解密后应遵守此规定。学位论文作者：．摧复确日期：劢膨年∥月夕日摘要本文给出了TD方程族的两种可积耦合系统，构造了李代数s2(2，R)的两类扩展对应的Lie-Poisson结构，在此基础上得到了耦合的TD非线性化特征值问题，并利用扩展李代数-F的Lax表示及母函数方法证明了该耦合问题的完全可积性。关键词：Lie—Poisson结构李代数扩展可积耦合母函数AbstractInthispaper，twointegrablecouplingsofTDhierarchyareobtained．BasedontheLie—Poissonstructuresa

4、ssociatedwithtwoextensionsofLiealgebrast(2，R)，thecouplingTDnonlinearizedeigenvalueproblemsarederived．TheLaxrepresentationsintheexten—sionofLiealgebrasandgeneratingfunctionapproachareusedtoproveintegrabilitvofthecoupledproblems．Keywords：Lie-PoissonstructureextensionofLiealgebrainteg

5、rablecouplinggeneratingfunctionII目录引言．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．1第一章预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．31．1相关定义和定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．31．2与st(2，R)相对应[{gLie-Poisson结构⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯．．31．3李代数的扩展及对应的Lie-Poisson结构⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．4第二章TD及其可积耦合系统⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．72．1TD谱问题及其发展方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．72．2第一种可积耦合系统⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯82．3第二种可积耦合系统⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．10第三章有限维可积系统及其可积性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．143．1对应于TD谱问题的有限维可积系统及其可积性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．143．2耦合非线性化特征值问题及其可积性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯19参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯．33致谢⋯⋯⋯．⋯．．，⋯．．⋯．．⋯⋯．．⋯⋯⋯⋯．．⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯．．．．．．．⋯35引言经典Hamilton力学的理论框架是辛流

7、形。在此框架下，Liouville-Arnold定理f11给出了Hamilton系统可积性的完整描述。该定理表明：具有n个自由度的Hamilton系统，若它有礼个函数独立的两两对合的守恒积分，且该佗个守恒积分的公共水平集集紧致、连通，则它与Ⅳ维环面微分同胚，在其上存在作用一角变量(，，矽)，使得Hamilton系统化为简单的可积形式。上世纪60年代之前有限维可积系统的例子屈指可数，但随着对孤子理论研究的不断深入，人们发现一大类有限维可积系统可由无穷维可积系统在有限维不变子流形上收缩得到。而Lax对的非线性方法『21是实现这一目的有效途径之一。Lax对非线性方

8、法是曹策问教授于1988年首创的。其主要思想是：通过