《多元函数的微积分》PPT课件.ppt

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1、第6章多元函数微积分第1节多元函数的概念第2节多元函数的偏导数和全微分第3节多元复合函数、隐函数的求导法则第4节多元函数微分法的应用第5节二重积分的概念第6节二重积分的计算第7节二重积分的应用§6.1多元函数的概念二元函数的定义二元函数的几何意义二元函数的极限二元函数的连续性小结思考与练习定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。二元函数的定义例１例2一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布唯一的温度类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。一般地讲，

2、二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。二元函数的几何意义（2）二元函数z=f(x,y)的图形——通常是一张曲面（函数曲面）.二元函数的极限小结：（１）（２）例３求证证明由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数性质１（最大值和最小值定理）二元函数的连续性性质３（零点定理）性质４（有界性定理）性质２（介值定理）例４设解因此小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果要求它在点思考题:一元函数连续和二元函数

3、连续的区别与联系。§6.2多元函数的偏导数和全微分偏导数的概念偏导数的几何意义偏导数与连续的关系小结思考与练习高阶偏导数全微分的概念和应用（未做）偏导数的概念同理,如果极限导数,记作偏导函数,简称偏导数,记作解根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.例1例2解所以例3解意义.偏导数的几何意义如下图所示例如偏导数与连续的关系注:偏导数存在与连续的区别(1)偏

4、导数存在，不一定连续；(2)连续，不一定存在偏导数；高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设一般来说,这两个偏导数还是可定义二元函数的二阶偏导数如下高阶偏导数例4解二阶以上的偏导数称为高阶偏导数例5解上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.为此,给出下面的定理:定理6.1相等.例6解因为所以小结：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导次序无关。§6.3多元函数复合函数、隐函数的求导法则多元复合函数的求

5、导法则隐函数的偏导数求法小结思考与练习定理6.5多元复合函数求导法则证明所以有完全类似地可以证明第二个等式。下面再介绍一特殊情形。另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似则（1）搞清函数的复合关系；（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例1解注意：例2解隐函数的偏导数求法同理可证定理6.6（隐函数存在定理）并有注意例3解例4解应用上面公式，得§6.4多元函数微分法的应用在几何上的应用二元函数极值的求法小结思考与练习1.空间曲线的切线与法平面在几何上的应

6、用即例1解于是，切线方程为法平面方程为2.曲面的切平面方程与法线方程为例2解或法线方程为1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理6.7(极值存在必要条件)使二元函数极值的求法定理6.8（极值存在充分条件）令第一步第二步第三步例3解（1）求驻点解方程组（2）判断驻点是否极值点，若是，说明取得极值情况又由于2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极

7、值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法1例4解由一元函数极值存在的必要条件，得所以方法2（拉格朗日数乘法）这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例5解作辅助函数令由前三式，得即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。注:求二元函数极值的方法(1)换元法。(2)拉格朗日数乘法。