《向量组-向量空间》PPT课件.ppt

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1、有非零解时，齐次线性方程组有基础解系，齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解——解向量组的最大无关组含n-R(A)个解向量有非零解时，齐次线性方程组的解向量组的秩为n-R(A)齐次线性方程组的解向量组是向量空间——解向量空间非齐次线性方程组的解向量组不构成向量空间——其秩为n-R(A)+1有无穷多解时，非齐次线性方程组的通解=导出组的通解+本身的一个特解解的结构性质求方程组的通解P110.30线性无关解方程组未知数个数=系数矩阵列数=4，系数矩阵的秩=3导出组基础解系含向量个数=4－3=1导出组的基础解系？方程组的一个特解？常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示方

2、程组有解增广矩阵的列向量组线性相关增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价系数矩阵的列向量组线性无关，有无穷多解系数矩阵、增广矩阵的列向量组线性相关有唯一解齐次线性方程组只有零解齐次线性方程组有非零解系数矩阵的列向量组线性无关系数矩阵的列向量组线性相关有解性与向量组性质两个方程组等价（同解）同解方程组性质方程组有无穷多解导出组有非零解反之？不一定！导出组只有零解方程组有唯一解？不一定！P.11032:只需证它满足方程Ax=b证只要是方程组的解，就考虑左乘A的结果证两端同左乘An:两端同左乘An-1:可得Th3(2)矛盾同理n+1个n维向量线性表示,线性表示若m=s，则K为方阵表示

3、系数为列！表示系数为行！则：时矩阵A~BA的列组与B的列组等价.但A~B不能保证A与B的行向量组或列向量组等价反之不一定！思考！但保证A与B的行（列）向量组有相同的秩，有相同的线性相关性C的列向量组可由A的列向量组线性表示，系数矩阵就是BC的行向量组可由B的行向量组线性表示，系数矩阵就是A矩阵乘法向量组用向量组表示证若R(A)=n,则A可逆若R(A)=n–1,又∵R(A)=n–1，∴A至少有一个（n-1)阶的代数余子式≠0若R(A)

4、关组---秩向量空间---向量组？V时向量空间——向量组V对线性运算封闭由向量生成的向量空间任意有限个向量都可生成空间V的最大无关组3.向量空间的基与维数基.∵任意n+1个n维向量是线性相关的向量空间的维数≤其向量的维数并称V为r维向量空间.=V的秩向量空间的基不唯一，但其任两个基都等价.基中所含向量个数r称为向量空间的维数.定义7（p104）向量空间V的维数≤V中向量的个数零空间没有基，其维数是0向量组——最大无关组----秩向量空间—基---维数向量空间V的基为展现了V的构造向量空间可由其基生成向量组不一定是向量空间。向量组是向量空间时，向量组的最大无关组是向量空间的基

5、，向量组的秩是向量空间的维数。n维向量空间例如事实上,任意n个线性无关的n维向量都是Rn的基.齐次线性方程组的基础解系就是解空间的基，解空间的维数是n-r.解空间表示为:表示惟一如何确定？解方程组事实上,任意n-1个只要线性无关，就是的一个基空间的维数与空间中向量的维数不同的例称为该x的坐标定义8(p105)设注（1）向量在一组确定的基下的坐标是惟一的.（2）向量在一组基下的坐标如何求？坐标。4.向量在基下的坐标(为什么?)（解方程组）向量在基下的坐标是向量用基线性表示的系数组特别地，在维向量空间中取单位坐标向量为基,向量的分量就是该向量在基中的坐标.中的自然基或标准基.向

6、量组在一组基下的坐标矩阵如何求？向量组用一组基表示的系数矩阵称为这个向量组在该基下的坐标矩阵。——解矩阵方程.例6(P.105例24)写出：用最大无关组以外向量用最大无关组表示的方法~?解Xn维空间中向量的坐标为n元有序数组列表示阵旧基用新基表示的系数矩阵5、过渡矩阵向量在不同基下的坐标也不同（3）向量空间的基不惟一,向量在不同基下的坐标之间的关系——坐标变换——以三维向量空间为例.例7(P.106例25)——的一个基（旧基）——的另一个基（新基）记记求：（1）用表示的表示式——基变换公式（2）向量在两个基中的坐标之间的关系——坐标变换公式解(1)都可由三维单位坐标向量组表

7、示新基用旧基表示的系数矩阵从旧基到新基的过渡矩阵从新基到旧基的过渡矩阵？解(2)x在旧基和新基下的坐标分别为即故有即新坐标用旧坐标表示形式从旧坐标到新坐标的坐标变换公式左乘过渡矩阵的逆旧坐标用新坐标表示形式？从新坐标到旧坐标的坐标变换公式左乘过渡矩阵一般的，设是向量空间的两个基，称用线性表示的系数矩阵P为由基到基的过渡矩阵.即到的过渡矩阵过渡矩阵可逆！从旧坐标到新坐标的坐标变换公式从新坐标到旧坐标的坐标变换公式一般的，设是向量空间的两个基，称用线性表示的系数矩阵P为由基到基的过渡矩阵.即到的过渡矩阵记基A到基B的过