概率论1.2-1.3概率、古典概型.ppt

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1、概率论与数理统计§1.2事件的概率§1.3古典概率模型广东金融学院应用数学系§1.2事件的概率1.2.1事件的频率I.频率定义设A是一个事件,在相同条件下进行n次试验，A发生了m次。则称m为事件A在n次试验中发生的频数或频次，称m与n之比m/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)。当试验次数n充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率的稳定性。频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。尽管每进行一连n次试验，所得到的频率可能各不相同,但只要n足够大，频率就会非常接近一个固定值

2、——概率。因此,概率可以通过频率来“度量”,频率是概率的近似,概率是频率某种意义下的极限。考虑在相同条件下进行的k组试验事件A在各组试验中的频率形成一个数列频率稳定性是指：各组试验次数n1,n2…,nk充分大时，在各组试验中事件A出现的频率间、或频率与某定值相差很小。稳定在概率p附近下面我们来说明频率稳定性的含义。在实际问题中，当概率不易求出时，人们在试验次数很大情况下，常用事件的频率作为概率的估计，并称此概率为统计概率。这种确定概率的方法为频率法。例如:若需了解某射箭运动员中10环的概率，应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况进行观测、统计。假设其射击n

3、次，中10环m次，当n很大时，就m/n作为其命中10环的概率。又如：进行产品检验时，如果检验了n件产品,其中m件为次品，则当n很大时，可用m/n作为产品的次品率(概率)的估计值。(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(Ω)=1,fn(Ø)=0；(3).若事件A1,A2,…,Ak两两互斥，则:II.频率性质1933年，前苏联数学家(概率统计学家)柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)给出了概率如下公理化定义。1.2.2事件概率I.概率定义概率的公理化定义(2).P(Ω)=1;(3).若事件A1,A2,…两两互斥，则有设E是随机试验，Ω是样本空间，对Ω中的每个

4、事件A，赋予一个实数P(A)，如果事件(集合)函数P(A)满足下述三条:(1).P(A)≥0；则称P(A)为事件A的概率。注意：这里的函数P(A)与以前所学过的函数不同。不同之处在于：P(A)的自变量是事件(集合)。不难看出：这里事件概率的定义是在频率性质的基础之上提出的。在§5.1中,我们将看到：频率fn(A)在某种意义下收敛到概率P(A)的结论。基于这一点，我们有理由用上述定义的概率P(A)来度量事件A在一次试验中发生的可能性大小。II.概率的性质1.P(Ø)=0，即不可能事件的概率为零；2.若事件A1,A2,…,An两两互斥，则有：P(A1∪A2∪…

5、∪An)=P(A1)+…+P(An),即互斥事件并的概率等于它们各自概率之和(有限可加性)；4.对两个事件A和B，若AB,则有:P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)。3.对任一事件A,均有证明：5.对任意两个事件A,B，有因AB，A－AB，B－AB两两互斥，且由概率的可加性，有P(A∪B)=P(AB∪(A－AB)∪(B－AB))=P(AB)+P(A－AB)+P(B－AB）=P(AB)+P(A－AB)+P(B－AB)+P(AB)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB).A∪B=AB∪(A－AB)∪(B－AB)，特别地，n=3时，有§1.

6、3古典概率模型I.什么是古典概率模型如果试验E满足(1).试验结果只有有限种；(2).各种结果出现的可能性相同。则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称等可能概型或古典概型。II.古典概率模型中事件概率求法因试验E的结果只有有限种，即样本点是有限个:1,2,…,n。Ω={1}∪{2}∪…∪{n}，{i}是基本事件，且各自发生的概率相等。于是，有1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…,n。从而，P({i})=1/n，i=1,2,…

7、,n.因此，若事件A包含k个基本事件，即则III.古典概模型举例例1：掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为“四点或五点”，B表示所掷结果为“偶数点”，求P(A)和P(B)。解：由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。例2：货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲,3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率。解：从15件商品中取出2商品，共有C215=105种取法，且每种取法都是等可能的，故n=105。令A={两件商品都来自产地甲},kA=C212=66,B={两件商

8、品都来自产地乙},kB=C23=3，而事件:{两件商品来自同一产地