《微积分一》函数的增减性.ppt

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1、§4.3函数的增减性结论：均为锐角xyo2l21l1y=f(x)观察与思考§4.3函数的增减性结论：均为钝角观察与思考xyo1l12l2y=f(x)§4.3函数的增减性由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联系；反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？?结论是肯定的！定理43(函数单调性的判定法)只证(1)在(a,b)内任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理有f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1x2)因为x(a,b)时恒有f(x)0所以f()0又x2x10因此f(x2

2、)f(x1)f()(x2x1)0即f(x1)f(x2)这就证明了函数f(x)在(a,b)内单调增加证设函数f(x)在区间(ab)内可导那么(1)如果x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调增加(2)如果x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调减少定理43(函数单调性的判定法)设函数f(x)在区间(ab)内可导那么(1)如果x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调增加(2)如果x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调减少说明

3、1.判定法中的开区间可换成其他各种区间2.如果在区间(ab)内f(x)0(或f(x)0)但等号只在个别点处成立则f(x)在(ab)内仍是单调增加(或单调减少)的例如,解例1确定函数f(x)x33x的单调增减区间f(x)3x233(x1)(x1)当x(,1)时f(x)0函数f(x)在(,1)内单调增加当x(1,1)时f(x)0函数f(x)在(1,1)内单调减少函数f(x)在(1,)内单调增加当x(1,)时f(x)0单调性的改变点是使得的点解：的定义域为当

4、时，当时，单调性的改变点是不存在的点驻点解：列表考察的符号故函数的单增区间为，单减区间为-+-原理1、证明不等式1）将欲证的不等式化为f(x)>0,或f(x)<0的形式；2）证明f(x)满足：单调性，起点函数值为零单调性的应用例4.证:得证.能否用中值定理证明?例5.练习2.零点定理2、证明方程根的唯一性（存在性）函数单调性（唯一性）例6.