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1、科技信息○教学研究○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2010年第15期求极限的几种常用方法陈慧泽（定西市第一中学甘肃定西743000）【摘要】极限是数学分析中最重要最基本的概念之一，而求极限是数学分析中的主要运算之一。求极限的方法因题而异、变化多端，有时甚至感到变化莫测无从下手。本文就极限的求法总结了七种方法，只要掌握了这是七种方法，一般求极限的问题都能够得以解决。【关键词】极限；方法；数列；函数极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0概念都可以用极限概念来表达
2、。例如函数在某点x0处导数的定义，偏是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数x→x0导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定值，即limf(x)=f(x0)义等。因此极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知x→x0识点联系在了一起。所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限是对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u=φ(x)在x0连续且学好数学分析的基础。求极限主要有函数的极限和数列的极限，但是，u0=φ(x0),y=f(u)在u0处连续，则复合函数y=f[φ(x)]在x0处也连续，二者不是孤立的，
3、由归结原则把二者联系起来，因此在求解时所用的从而limf[φ(x)]=f[φ(x0)]或limf[φ(x)]=f[limφ(x)]x→x0x→x0x→x0方法是一样的。掌握求极限的方法对数学分析的学习有十分重要的作例3：求limlnsinxπ用，下面归纳总结了求极限的几种常用方法。x→2ππ1利用极限的定义求极限解：复合函数lnsinx在x=处是连续的，即有limlnsinx=lnsin=2x→π22利用极限的定义求极限时，放缩法和含绝对值的不等式总是密切lnl=0相连的。例：limf(x)=A的ε-δ定义是指：坌ε＞0,埚δ=δ(x0,ε)＞0,0＜
4、x-x0
5、＜
6、δ圯
7、f4利用无穷小的性质求极限x→x0(x)-A
8、＜ε为了求δ可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能式：用这种方法来求。｜x+a｜=
9、(x-x0)+(x0+a)
10、≤
11、x-x0
12、+
13、x0+a
14、＜｜x0+a｜+δ1例4：求lim4x-72域
15、x+a
16、=
17、(x-x)+(x+a)
18、≥
19、x+a
20、-
21、x-x
22、＞
23、x+a
24、-δx→1x-3x+2000001从φ(x)＜求δ2出后
25、，取δ＝min(δ1,δ2),当0＜
26、x-x0
27、＜δ时，就有
28、f(x)-A
29、＜ε解：当x→分母的极限为0.而分子的极限不为0，可先求出所给函x1+x2+…+xn数倒数的极限例1：设limxn＝a,则有lim＝a2n→∞n→∞nlimx-3x+2＝1-3+2＝0，故lim4x-7＝∞2εx→14x-74-7x→1x-3x+2证明：因为limxn=a,对坌ε＞0，埚N1=N1(ε),当n＞N1时,
30、xn-a
31、＜n→∞25利用单调有界原理求极限于是当n＞N1时，x1+x2+…+xn-a=
32、x1+x2+…+xn-na
33、nn这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限
34、存在，≤
35、x1-a｜+
36、x2-a
37、+…+
38、xN1-a
39、+
40、xN1+1-a
41、+
42、xn-a
43、≤A+n-N1＜A＋ε进而求极限。nnnnn2例5：求lim姨a+姨a+…+姨a其中A＝｜x1-a｜+｜x2-a｜+…
44、xN1+1-a
45、是一个定数，n→∞Aε2A2A再由＜，解得n＞，故取N=max{N1,[]}解：令x＝姨a+姨a+…+姨a,则xn+1=姨a+xn.由归结法可证xn＜n2εε当n＞N时，x1+x2+…+xn-a＜εε姨a+1(有界性)又因为姨a+姨a＞姨a，即xn+1＞xn,所以数列{xn}单调＋＝εn22递增由单调有界定理知：lim姨a+姨a+…+姨a有极限，
46、并设为A而n→∞2利用极限的四则用算法则求极限1＋姨1＋4alimxn+1=lim姨a+xn.,即A＝姨A+a，则A＝利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子n→∞n→∞2极限存在，一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现0，所以：lim姨a+姨a+…+姨a=1＋姨1＋4a0n→∞2∞，∞-∞等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变6利用罗必塔法则求极限∞形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公0罗必塔法则是计算不定式极限的重要方法，可用来求诸如型，式。0例2：求lim（3-1）∞型,∞-∞型,0·∞型等多种形
