向量的运算方法法则.doc

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1、(1)实数与向量的运算法则:设、为实数,则有:1)结合律:。2)分配律:,。(2)向量的数量积运算法则:1)。2)。3)。(3)平面向量的基本定理。是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任何一向量,有且仅有一对实数,满足。(4)与的数量积的计算公式及几何意义:,数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。(5)平面向量的运算法则。1)设=,=,则+=。2)设=,=,则-=。3)设点A,B,则。4)设=,则=。5)设=,=,则=。(6)两向量的夹角公式:(=,=)。(7)平面两点间的距离公式:=(A,B)。(8)向量的平行与垂直:设=,=,且0,

2、则有:1)

3、

4、=。2)(0)·=0。(9)线段的定比分公式:设,,是线段的分点,是实数,且,则()。(10)三角形的重心公式:△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标为。(11)平移公式:。(12)关于向量平移的结论。1)点按向量=平移后得到点。2)函数的图像按向量=平移后得到图像:。3)图像按向量=平移后得到图像:,则为。4)曲线:按向量=平移后得到图像:。设a=(x,y),b=(x',y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。  向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x',y+y')。a+0=0+a=a。向

5、量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。[1]2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被  向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').如图:c=a-b以b的结束为起点,a的结束为终点。3、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时,λa与a同方向当λ<0时,λa与a反方向;  向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数

6、λ,都有λa=0。注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当λ>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍当λ<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律:①如

7、果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。[2]4、向量的数量积定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作a·b。若a、b不共线,则a·b=

8、a

9、·

10、b

11、·cos〈a,b〉(依定义有:cos〈a,b〉=a·b/

12、a

13、·

14、b

15、);若a、b共线,则a·b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律a·b=b·a(交换律)(λa)·b

16、=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的数量积的性质a·a=

17、a

18、的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。

19、a·b

20、≤

21、a

22、·

23、b

24、。(该公式证明如下:

25、a·b

26、=

27、a

28、·

29、b

30、·

31、cosα

32、因为0≤

33、cosα

34、≤1,所以

35、a·b

36、≤

37、a

38、·

39、b

40、)向量的数量积与实数运算的主要不同点1.向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。2.向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。3.

41、a·b

42、与

43、a

44、·

45、b

46、不等价4.由

47、a

48、=

49、b

50、,推

51、不出a=b或a=-b。5、向量的向量积定义:两个向量a和b的向量积  向量的几何表示(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里“×”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=

52、a

53、·

54、b

55、·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直,则a×b=0。向量的向量积性质:∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a垂直b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×

56、b+a×c.注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义:给定

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