约束多目标优化问题中约束处理方法综述

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1、研究与开发文章编号：1007-1423（2012）36-0012-04DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2012.36.003约束多目标优化问题中约束处理方法综述*王杰文（湖南第一师范学院信息科学与工程系，长沙410205）摘要：约束条件的处理是求解约束多目标优化问题的关键，常用方法包括拒绝不可行解法、罚函数法，以及各种修正算法。近年来，将约束转化为一个优化目标的方法受到关注，就此进行综述。关键词：多目标优化；约束处理；修正算法0引言U=（u1，u2，…，un）一个一般的多目标优化问题由n个决策变量,k约束处理是工程优化问题中一个关键部分,

2、约束个目标函数和m个约束条件组成。X表示决策空间,L条件的处理又是求解约束多目标优化问题的关键。常和U分别为上界和下界，Y表示目标函数空间。本文的用约束条件处理方法包括拒绝不可行解法、罚函数法所有讨论都是基于上述多目标优化问题模型展开的。以及各种修正算法。事实上，在迭代过程中始终拒绝1违反约束度的定义不可行解非常困难,尤其在可行域很小时，反复试探会影响求解速度；各种修正算法总是针对具体问题来设将约束优化问题转换为多目标优化问题的关键就计，不具有通用性；罚函数法是目前处理约束条件的最是总体约束违反度的定义，即把个体对约束的违反看经典方法,因为简单，但是，惩罚因子具有

3、问题相关性，作该个体的一个“属性”，用约束违反度H来衡量该“属用户不易把握。目前，比较通用的是多目标优化方法，性”值。对个体A，若gi（A）≤0，则Hi=0；gi（A）>0，则Hi＝本文就此方法进行综述。gi（A）个体A的约束违反度定义为：定义一般的约束多目标优化问题（MOP）:不失一H（x）=ΣHi（i=1，2，…，m），显然，不违反约束的个般性,考虑下列多目标优化问题模型：体H值为零。miny=F（x）=（f1（x），f2（x），…，fk（x））文献[2]定义个体A的约束违反度为：s.t.gi（x）≤0，i=1，2，…，mp其中：2HAΣ｛max（0，gi（A

4、））｝，与文献[1]的定义比较，多k=1x=（x1，x2，…，xn）∈X了一个平方。y=（y1，y2，…，yn）∈Y文献[3]定义个体A（t）约束度为：X=｛（x1，x2，…，xn）｜li≤xi≤ui，i=1，2，…，n｝L=（l1，l2，…，ln）*基金项目：湖南省科技计划项目（No.S2010G2013）收稿日期：2012-11－12修稿日期：2012-12－17作者简介：王杰文（1962－），男，教授，研究方向为计算机应用技术、信息技术教育应用趤趯现代计算机2012.12下研究与开发p为多目标优化问题后,利用多目标优化技术处理，比较1ck（A（t））H（A（

5、t））=Σ，其中：*典型的有Coello等人[6]相继提出的一种类似于向量评pk=1c（A（t））A（t）∈［L，U］，i=1，2，…，N为第t代种群P（t）的任估遗传算法的群体多目标技术,一种基于Pareto排序意一个个体，p为种群的规模。过程的方法等。文献[7]利用人工免疫系统中的克隆免c（A（t））=max（g（A（t）），0），k=1，2，…，p，c*（A（t））疫算法较为成功地解决了多目标优化中解的多样性、kk均匀性以及很好的向着Pareto最优面的逼近性等问=maxck（A（t））。1≤k≤p题。个体约束度实质上可以认为是个体A（t）到可行域将约束条件

6、转化为一个目标G（x）=H（x）。则G（x）D的距离，A（t）离D越远，约束度越大，反之越小。当与f（x）构成两目标的矢量f（x）：A（t）为可行时，约束度变为零。f（x）＝（F（x），G（x））文献[4]定义一个个体A的不可行度（即违反约束于是，一个由n个决策变量、k个目标函数和l个度）为该个体的所有冲突的约束值的平方和:不等式约束和m-l个等式约束条件组成的约束优化问Jm题就转化成n个决策变量、k+1个目标函数的非约束多22H（A）＝Σ［min｛0，gj（A）｝］+Σ［hk（A）］目标优化的问题了，如下所示：j=1k=J+1其中:gj（A）、hk（A）分别是优

7、化问题的不等式约束minimizey=f（x）＝（F（x），G（x））（大于或等于）和等式约束,J和m分别是不等式约束wherex=（x1，x2，…，xn）∈X式的个数和总约束式的个数。X=｛（x1，x2，…，xn）｝这里不可行度可认为是解A到可行域的距离,Al=（l1，l2，…，ln），u=（u1，u2，…，un）离可行域越远，不可行度越大，反之越小；当A为可行必须注意，将约束优化问题转换为多目标问题后，解时，不可行度为零。如何平衡群体中的可行解与不可行解显得尤为重要。如果群体进入可行域后没有足够的多样性，那么搜索2将约束优化问题转换为多目标优化问题将会集中在可

8、行域中的某