二叉树期权定价模型在欧式期权和美式期权的应用

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1、第五章5.6二叉树定价模型介绍6/15/20211陕西科技大学理学院一个简单的二叉树模型股票的现价为$20三个月之后股票的价格或为$22或为$18StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$206/15/20212陕西科技大学理学院StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?一份看涨期权一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格为$21.6/15/20213陕西科技大学理学院考虑

2、一个资产组合:持有D份股票成为一份看涨期权的空头当22D–1=18DorD=0.25，资产组合是无风险的22D–118D构造无风险资产组合6/15/20214陕西科技大学理学院资产组合的估值(无风险利率为12%)无风险组合为:持有0.25份股票成为一份看涨期权的空头三个月后组合的价值为22´0.25–1=4.50组合在时刻0的价值为4.5e–0.12´0.25=4.36706/15/20215陕西科技大学理学院期权的估值资产组合为持有0.25份股票成为一份看涨期权的空头组合在时刻0的价值为4.3670股票的价值是5.000(=0.25×20

3、)从而，期权的价格为0.633(=5.000–4.367)6/15/20216陕西科技大学理学院推广到一般情形一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为TSuƒuSdƒdSƒ6/15/20217陕西科技大学理学院推广到一般情形(continued)考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头当D满足下面的条件时，组合为无风险：SuD–ƒu=SdD–ƒdorSuD–ƒuSdD–ƒd6/15/20218陕西科技大学理学院推广到一般情形(continued)组合在时刻T的价值为SuD–ƒu组合在时刻0的价值为(SuD–ƒu)e–rT组合在时刻0的

4、价值又可以表达为SD–f从而ƒ=SD–(SuD–ƒu)e–rT6/15/20219陕西科技大学理学院推广到一般情形(continued)于是，我们得到ƒ=[pƒu+(1–p)ƒd]e–rT其中6/15/202110陕西科技大学理学院Risk-NeutralValuationƒ=[pƒu+(1–p)ƒd]e-rT变量p和(1–p)可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值SuƒuSdƒdSƒp(1–p)6/15/202111陕西科技大学理学院最初例子的修正由于p是风险中性概率，所以20e0.12´

5、0.25=22p+18(1–p);p=0.6523或者，我们可以利用公式Su=22ƒu=1Sd=18ƒd=0Sƒp(1–p)6/15/202112陕西科技大学理学院期权的估值期权的价值为e–0.12×0.25[0.6523´1+0.3477´0]=0.633Su=22ƒu=1Sd=18ƒd=0Sƒ0.65230.34776/15/202113陕西科技大学理学院两步二叉树模型每步长为3个月20221824.219.816.26/15/202114陕西科技大学理学院欧式看涨期权的估值在节点B的价值=e–0.12´0.25(0.6523´3.2+

6、0.3477´0)=2.0257在节点A的价值=e–0.12´0.25(0.6523´2.0257+0.3477´0)=1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF6/15/202115陕西科技大学理学院一个看跌期权的例子：X＝52504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF6/15/202116陕西科技大学理学院美式期权该如何估值？505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF6/15/202117陕西科技大学

7、理学院1二叉树期权定价模型1.1二叉树模型的基本方法熟悉1.2基本二叉树方法的扩展熟悉1.3构造树图的其他方法和思路了解1.4二叉树定价模型的深入理解熟悉2蒙特卡罗模拟2.1蒙特卡罗模拟的基本过程熟悉2.2蒙特卡罗模拟的技术实现熟悉2.3减少方差的技巧了解2.4蒙特卡罗模拟的理解和应用了解3有限差分方法3.1隐性有限差分法熟悉3.2显性有限差分法熟悉3.3有限差分方法的比较分析和改进了解3.4有限差分方法的应用了解5.6二叉树定价模型6/15/202118陕西科技大学理学院1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、下降到原先的倍，即。图5.1

8、时间内资产价格的变动把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：其中.如图5.1所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。相应地