破解图形中变幻莫测的“阴影”.doc

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1、破解图形中变幻莫测的“阴影”朱咏松(南通市虹桥二中226006)近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积而展开的试题渐多起来，并以它奇妙组合与非常变化困扰了不少学生，也成为学生心中的一个“阴影”．今天让我们走进“阴影”，一起来探寻它的破解方法．一、直接公式法〖例1〗如图，正六边形与正十二边形内接于同一个⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．〖分析〗本图的阴影很明显是由六个全等的等腰三角形所构成，只要求出一个等腰三角形的面积即可．等腰三角形是一个特殊的几何图形，求面积时通常首选“直接用公式”．〖解答〗连结OA、OB、OC，则

2、OC⊥AB．由圆内接正六边形得等边△ABO，则∠BAO=60º，AB=OA=2，在⊙O中，OD⊥AB，则AD=AB=1，由勾股定理得OD=，∴CD=2-，S△ABC=AB·CD=2-，∴S阴=6S△ABC=12-6．〖例2〗如图，AB是同心圆中大圆的弦，且与小圆相切于C点，若AB=8cm，则图中的阴影部分面积为．〖分析〗本题是求一个圆环的面积，显然是用大圆面积减去小圆面积．但题中并没有给出大、小圆的半径，只有大圆的弦AB的长，怎么办呢？〖解答〗连结OB，OC，由AB为小圆的切线，∴OC⊥AB，在大圆中得BC=AB=4，由勾股定理

3、知OB2-OC2=BC2=16，由S阴=S大圆-S小圆=πOB2-OC2=π（OB2-OC2）=16π【小结】“直接公式法”通常是针对一些特殊的规则图形，且易于直接用公式来表示的问题．但这里也藏着一定的变化，命题者经常会将直接需要的量隐藏在其它条件之中，这就要我们善于探寻这些条件间的联系．二、面积组合法〖例3〗在Rt△ABC中，∠ACB=90º，S△ABC=30cm2，分别以AC、BC、AB为直径所作的圆构成如图所示的图形，则图中的阴影部分面积为．〖分析〗本题所示的阴影部分的构成显然是：S阴=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙O．

4、但题中只给出了△ABC的面积，没有△ABC的三边的具体长度，其中有什么奥妙呢？〖解答〗由S阴=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙O=π[+-]+30=π+30=30（cm2）．此外，从本题条件分析可知，“阴影部分面积”与“此三角形的具体边长”没有什么关系，只要此三角形面积一定，它的值就是定值．故本题也可自取一组合适的边长（如AB=5cm，AC=12cm，则BC=13cm），代入上面所列的面积组合中进行计算．〖例4〗如图，⊙Q内切与扇形OAB，若扇形OAB的半径为6cm，圆心角为60º，则图中阴影部分的面积为．〖分析〗本题所示的阴影

5、部分组合为：S阴=S扇形OAB-S⊙Q．扇形OAB的面积很好解决，⊙Q的面积关键在于半径，如何来求它的半径呢？〖解答〗连结QC、QD、QE，设⊙Q的半径为r．∵OA、OB切⊙Q与D、E，且∠AOB=60º∴∠QOE=30º在Rt△OQE中，∠OEQ=90º，∠QOE=30º∴OQ=2EQ=2r由⊙O与⊙Q内切于点C∴OC=OQ+QC即3r=6则r=2S阴=S扇形OAB-S⊙Q=（cm2）．〖例5〗如图，五边形ABCDE的边长都大于2，分别以A、B、C、D、E为圆心作半径为1的圆，则图中阴影部分的面积为．〖分析〗本题既可以直接看成

6、是五个阴影扇形面积之和，也可以看成五个等圆的面积和减去五个空白扇形面积和．但这五边形是任意的，我们不知道每个内角的具体度数，怎么办呢？〖解答〗因为五边形的内角和为540º，则这五个空白扇形的面积之和为：；所以S阴=．【小结】“面积组合法”是求阴影部分面积中最常用的一种方法，它既考查了学生对常见几何图形面积公式的认识，又考查了学生对几何图形的拆解组合能力，还考查了学生对求解中未知条件分析应变能力．故而这种方法是我们在学习中要特别关注的．三、等积形补法〖例6〗如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以D为圆心，DC为半径作

7、弧交DA延长线与E，交AB于F，若F点恰为CE的中点，则图中阴影部分的面积为．〖分析〗本题这两块阴影面积连结DF后，可以分别用“面积组合法”求出．虽不难，但计算过程还是有些繁的，有没有更好的方法呢？〖解答〗过F点作FG⊥CD于G，因为点F点恰为CE的中点，且FA⊥DE，FG⊥DC，由图形的对称性可知：图中E、A、F构成的封闭区域与C、G、F构成的封闭区域是全等的，所以它们的面积也相等，∴S阴=S矩形BCGF=（cm2）．〖例7〗如图，⊙O的半径为6cm，AB是⊙O中的弦，且与半径相等，OC∥AB，则图中的阴影部分面积为．〖分析〗

8、本题可以把阴影部分拆分为一个弓形与一个三角形分别计算，有没有更好的选择呢？〖解答〗过O作OG⊥AB，过C作CH⊥AB，∵OC∥AB∴OG=CH（平行线间的距离处处相等）由△OAB与△CAB同底等高，得S△OAB=S△CAB∴S阴=S扇形OAB=（cm2）．〖例8