几何尺规作图.doc

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1、几何尺规作图　　摘要：根据自制特制容器量具解决几何尺规问题。背景：本文所述为2000多年前古希腊几何尺规作图中的①化圆为方和③倍立方两个问题，同时解决我提出的几个相似问题。　　关键词：几何尺规作图无刻度直尺圆规自制特制容器具溶液化圆为方倍立方化方为圆　　中图分类号：G40-09文献标识码：A文章编号：1003-908204-0116-01　　一、自制特制容器量具设计图　　二、自制特制容器量具介绍　　1.半圆杯：制造一个盛水空间和已知任意圆O直径R大小相等，厚度为1的半圆柱体杯，简称半圆杯。如图为任意圆O，直径为R，厚度为1的圆柱体，沿直径切开，变成半圆

2、柱�w，半圆杯的盛水空间和这个半圆柱体形状相同。切面在上面并且平行水平面，如图所示，下面有杯柄可以放置。从上面倒满水溶液，水溶液体积为r2×π××1=r2×π×。因为本容器量具的直径和任意圆直径相等，所以，每画一个任意圆就需要制造一个容器量具，虽繁琐，却无它法。　　2.直角杯：盛水空间是厚度为1的等腰直角三角形柱体杯。如图是厚度为1的正方形柱体，沿对角线切开，取一半形状，将顶点A朝下，切面在上面平行水平面，这就是盛水空间形状，如图所示，下面有杯柄可以放置。倒入水溶液后，因为AB=AC。水溶液的体积等于AB×AC××1=2×=2×。本工具可以通用。　　3

3、.正直三棱锥杯：如图是一个正方体，沿BCD平面切开，变成A-BCD正三棱锥体，让A点朝下，切面在上面并且平行水平面，这就是盛水空间形状，下面是杯柄可以放置，如图所示。从上面倒入水溶液，AB=AC=AD，水平面到底端顶点A的垂直距离为高h。本工具可以通用。　　4.底面积为1×1的直柱杯，也叫管杯：盛水空间是截面积为1×1的正方形，高度为h的正方形柱体杯，下面有杯柄可以垂直放置。里面倒入水溶液，水溶液的体积等于1×1×h=h。本工具可以通用。　　5.周长直径杯：如图所示形状。盛水空间是厚度为1的等腰三角形柱体形状，也就是v字形杯。底端是杯柄，可以放置。从上

4、面倒入水溶液，AB=AC，BC代表圆直径R，BC到A点的高h代表圆周长。这是根据圆周长÷圆直径=π的原理制造的容器量具。倒入水溶液后，水溶液体积为BC×h××1=BC×h×。本工具可以通用。　　三、利用容器量具解决几何尺规作图问题　　1.化圆为方：先画出任意圆，再画出一正方形，使正方形面积等于任意圆面积。　　做法：先画任意圆，直径为R，半径为r。制造一个直径为R的半圆杯，倒满水。杯中水溶液的体积为2×π××1=r2×π×。将半圆杯中的水倒入直角杯中，直角杯中的水溶液体积为AB×AC××1=AB2×。又因为r2×π×=AB2×，所以，r2×π=AB2，∴

5、以AB为边长画正方形，其面积与直径为R的任意圆面积相等。　　2.倍立方：先画一个正方体，体积为V1，再画一个正方体，体积为V2，并且使V2=2V1。　　做法：取两个正直三棱锥杯和，先画任意一个正方体，边长为a，首先向其中一个正直三棱锥杯中倒水，当AB=AC=AD=a时为止，此时杯中水溶液体积为Vm，之后将杯中水溶液倒入另一个正直三棱锥杯中，然后再重复做一次，则正直三棱锥杯中的水溶液体积为2Vm，此时正直三棱锥杯中的水溶液水平面与杯棱边交点B`、C`、D`到底顶点A`的长度为b，以b为边长画正方体，其体积为V2，V2=2a3=2V1。　　3.分立方：是倍

6、立方问题的另一种形式。即先画一正方体体积为V1，再画一个正方体，体积为V2，V2/V1=1/n。这个问题不难，可以参照上面的倍立方画法解决。　　4.画π1/2=？、π=？、π2=？，A1/3=？、A=？、A3=？，A1/2=？、A=？、A2=？等等。可以参照上面的化圆为方和倍立方画法解决。　　5.画方为圆：先画任意正方形，再画一个圆，使圆面积等于正方形面积。这是化圆为方的反形式。　　做法：先画任意正方形，边长为a，向直角杯中倒水，当AB=AC=a时为止，此时直角杯中水溶液体积为AB×AC××1=a2×。然后将此水溶液倒入周长直径杯中，则周长直径杯中的水

7、溶液体积为BC×h××1=a2×，所以，BC×h=a2，再以BC为半径画圆，当厚度为1时，又因为π=h÷BC，所以，体积为2×π×1=2×=BC×h=a2，所以，以BC为半径画圆的圆面积等于已知任意正方形面积。　　四、其它相关问题　　其它相关问题都可以参照本法原理去解决。　　以上几何作图法看上去很麻烦，但这只能这样去解决，可能还有其它方法，今后去探索之。