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时间：2020-04-29
《量子计算和量子信息(量子计算部分-Nielsen等着)4(大部分).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
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7、0>yzx4.14.2证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-∞8、即可。上面的数字1，就是单位矩阵I，n次方也就是矩阵iAx相乘n次。exp(iAx)=I+iAx-A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......=I+iAx-Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......(注意到A^2=I)再结合sinx和cosx的泰勒级数展开式，就可以发现，cos(x)I=I-Ix^2/2!+Ix^4/4!-...isin(x)A=iAx-iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......所以就有exp(iAx9、)=cos(x)I+isin(x)A4.34.4H=(X+Z)/2=Rx(π)Ry(π/2)exp(iπ/2)Rx(θ)=Rz(-π/2)Ry(θ)Rz(π/2)所以H=Rz(-π/2)Ry(π)Rz(π/2)Ry(π/2)exp(iπ/2)4.5X^2=Y^2=Z^2=I并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.74.17HZH4.18左边线路的作用：10、00>à11、00>12、01>à13、01>14、10>à15、10>16、11>à-17、11>右边线路的作用：18、00>à19、00>20、01>à21、01>22、10>à23、10>24、11>à-25、11>26、所以等价4.1910010110abefcdghijmnklop10010110=abefcdghmnijopkl10010110=abefdchgmnijpolk4.20左边=(H⨂H)(27、0><028、⨂I+29、1><130、⨂X)(H⨂H)=10001000=右边4.21直接输入8个状态进行验证即可4.22设V^2=U,而V=e^(iα)AXBXC,V+=e^(-iα)C+XB+XA+100e^(iα)可以无限穿越节点，但不能穿越Xeiαe-iαeiαABB+BC4.23U=Rxθ=Rz-π2RyθRzπ2不能减少Ryθ231、Rz-π2Ryθ2Rzπ2U=Ryθ能Ryθ2Ryθ24.24控制比特：32、00>:第一比特位T33、0>=34、0>第二比特位T+T+S=(T2)+S=S+S=I第三比特位HT+TT+TH=I35、01>:第一比特位T36、0>=37、0>第二比特位T+T+S=(T2)+S=S+S=I第三比特位HXT+TXT+TH=I38、10>:第一比特位T39、1>=e^(iπ/4)40、1>第二比特位T+XT+XS=e^(-iπ/4)S,e^(-iπ/4)S41、0>=e^(-iπ/4)42、0>第三比特位HT+XTT+XTH=I,e^(iπ/4)43、1>⨂e^(-iπ44、/4)45、0>=46、10>47、11>:第一比特位T48、1>=e^(iπ/4)49、1>第二比特位T+XT+XS=e^(-iπ/4)S,e^(-iπ/4)S50、1>=e^(iπ/4)51、1>第三比特位HXT+XTXT+XTH=e^(-iπ/2)HZH=e^(-iπ/2)Xe^(iπ/4)52、1>⨂e^(iπ/4)53、1>=e^(iπ/2)54、11>4.25(1)第三比特是控制位(2)第三比特是控制位或第一比特是控制位4.26直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）4.27构造如图：4.32ρ,=ijρij0055、i>56、⨂57、0><058、59、+ijρij1160、i>61、⨂62、1><163、ρ=Σρijmn64、i>65、⨂66、m>67、tr(ρ)=Σρijmn68、i>69、tr(70、m>71、)=Σρijm72、i>73、4.33产生Bell态的线路为HHH而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.39U4.40E(U,V)=<φU-V+U-Vφ>=<φ(U+U+V+V)φ>-<φ(U+V+V+U)φ>=2-<φ(U+V+V+U)φ>U=cos(α/2)-isin(α/2)74、n*σV=cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n*σ<φ(U+V+V+U)φ>=<φ2cosβ2Iφ>=2cosβ2E(U,V)=2-2cosβ2=75、1-exp(iβ/2)76、4.41(S为相位门)输入77、00φ>输出是78、00>⨂(3/4S79、φ>+1/4XSX80、φ>)+(81、01>+82、10>-83、11>⨂(1/4)(S84、φ
8、即可。上面的数字1，就是单位矩阵I，n次方也就是矩阵iAx相乘n次。exp(iAx)=I+iAx-A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......=I+iAx-Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......(注意到A^2=I)再结合sinx和cosx的泰勒级数展开式，就可以发现，cos(x)I=I-Ix^2/2!+Ix^4/4!-...isin(x)A=iAx-iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......所以就有exp(iAx
9、)=cos(x)I+isin(x)A4.34.4H=(X+Z)/2=Rx(π)Ry(π/2)exp(iπ/2)Rx(θ)=Rz(-π/2)Ry(θ)Rz(π/2)所以H=Rz(-π/2)Ry(π)Rz(π/2)Ry(π/2)exp(iπ/2)4.5X^2=Y^2=Z^2=I并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.74.17HZH4.18左边线路的作用：
10、00>à
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17、11>右边线路的作用：
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26、所以等价4.1910010110abefcdghijmnklop10010110=abefcdghmnijopkl10010110=abefdchgmnijpolk4.20左边=(H⨂H)(
27、0><0
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29、1><1
30、⨂X)(H⨂H)=10001000=右边4.21直接输入8个状态进行验证即可4.22设V^2=U,而V=e^(iα)AXBXC,V+=e^(-iα)C+XB+XA+100e^(iα)可以无限穿越节点，但不能穿越Xeiαe-iαeiαABB+BC4.23U=Rxθ=Rz-π2RyθRzπ2不能减少Ryθ2
31、Rz-π2Ryθ2Rzπ2U=Ryθ能Ryθ2Ryθ24.24控制比特：
32、00>:第一比特位T
33、0>=
34、0>第二比特位T+T+S=(T2)+S=S+S=I第三比特位HT+TT+TH=I
35、01>:第一比特位T
36、0>=
37、0>第二比特位T+T+S=(T2)+S=S+S=I第三比特位HXT+TXT+TH=I
38、10>:第一比特位T
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40、1>第二比特位T+XT+XS=e^(-iπ/4)S,e^(-iπ/4)S
41、0>=e^(-iπ/4)
42、0>第三比特位HT+XTT+XTH=I,e^(iπ/4)
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47、11>:第一比特位T
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49、1>第二比特位T+XT+XS=e^(-iπ/4)S,e^(-iπ/4)S
50、1>=e^(iπ/4)
51、1>第三比特位HXT+XTXT+XTH=e^(-iπ/2)HZH=e^(-iπ/2)Xe^(iπ/4)
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53、1>=e^(iπ/2)
54、11>4.25(1)第三比特是控制位(2)第三比特是控制位或第一比特是控制位4.26直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）4.27构造如图：4.32ρ,=ijρij00
55、i>56、⨂57、0><058、59、+ijρij1160、i>61、⨂62、1><163、ρ=Σρijmn64、i>65、⨂66、m>67、tr(ρ)=Σρijmn68、i>69、tr(70、m>71、)=Σρijm72、i>73、4.33产生Bell态的线路为HHH而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.39U4.40E(U,V)=<φU-V+U-Vφ>=<φ(U+U+V+V)φ>-<φ(U+V+V+U)φ>=2-<φ(U+V+V+U)φ>U=cos(α/2)-isin(α/2)74、n*σV=cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n*σ<φ(U+V+V+U)φ>=<φ2cosβ2Iφ>=2cosβ2E(U,V)=2-2cosβ2=75、1-exp(iβ/2)76、4.41(S为相位门)输入77、00φ>输出是78、00>⨂(3/4S79、φ>+1/4XSX80、φ>)+(81、01>+82、10>-83、11>⨂(1/4)(S84、φ
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66、m>67、tr(ρ)=Σρijmn68、i>69、tr(70、m>71、)=Σρijm72、i>73、4.33产生Bell态的线路为HHH而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.39U4.40E(U,V)=<φU-V+U-Vφ>=<φ(U+U+V+V)φ>-<φ(U+V+V+U)φ>=2-<φ(U+V+V+U)φ>U=cos(α/2)-isin(α/2)74、n*σV=cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n*σ<φ(U+V+V+U)φ>=<φ2cosβ2Iφ>=2cosβ2E(U,V)=2-2cosβ2=75、1-exp(iβ/2)76、4.41(S为相位门)输入77、00φ>输出是78、00>⨂(3/4S79、φ>+1/4XSX80、φ>)+(81、01>+82、10>-83、11>⨂(1/4)(S84、φ
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71、)=Σρijm
72、i>73、4.33产生Bell态的线路为HHH而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.39U4.40E(U,V)=<φU-V+U-Vφ>=<φ(U+U+V+V)φ>-<φ(U+V+V+U)φ>=2-<φ(U+V+V+U)φ>U=cos(α/2)-isin(α/2)74、n*σV=cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n*σ<φ(U+V+V+U)φ>=<φ2cosβ2Iφ>=2cosβ2E(U,V)=2-2cosβ2=75、1-exp(iβ/2)76、4.41(S为相位门)输入77、00φ>输出是78、00>⨂(3/4S79、φ>+1/4XSX80、φ>)+(81、01>+82、10>-83、11>⨂(1/4)(S84、φ
73、4.33产生Bell态的线路为HHH而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.39U4.40E(U,V)=<φU-V+U-Vφ>=<φ(U+U+V+V)φ>-<φ(U+V+V+U)φ>=2-<φ(U+V+V+U)φ>U=cos(α/2)-isin(α/2)
74、n*σV=cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n*σ<φ(U+V+V+U)φ>=<φ2cosβ2Iφ>=2cosβ2E(U,V)=2-2cosβ2=
75、1-exp(iβ/2)
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