矩阵的初等变换及其应用.docx

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1、27线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结[键入文字]27导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆

2、矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A[键入文字]27与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将

3、矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。下面举例说明矩阵等价及等价变换：[键入文字]27显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。二．矩阵的乘法1

4、.定义：设A=（）是一个m*s的矩阵，B=（）是一个s*n的矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是m*n矩阵C=（），记为C=AB，其中(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)由矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘。位于左边矩阵的列数与位于右边矩阵的行数相等的两个矩阵才能相乘；其乘积是一个与左边矩阵有相同行数，与右边矩阵有相同列数的矩阵；乘积矩阵的第i行第j列的元等于左边矩阵第i行的各元与右边矩阵第j列的对应元乘积之和。所谓对应元，及第i行的列号与第j列的行号相同的元。[键入文字]27例：求矩阵A=31-12041-1

5、2与B=231503的乘积。解：AB=31-12041-12231503=3×2+1×1+（-1）×03×3+1×5+-1×32×2+0×1+4×02×3+0×5+4×31×2+-1×1+2×01×3+-1×5+2×3=71141814注意：1).矩阵乘法不满足交换律,即在一般情况下，AB≠BA.2).两个非零矩阵之积可能为零矩阵。3).若A≠O,AB=AC,不能推出B=C.2、矩阵乘法满足下列运算规律：（1）（AB）C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+BC,(B+C)A=BA+CA;(3)α（AB）=αAB=A(αB

6、),其中α是数；（4）EmAm*n=Am*nEn=Am*n.三、将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型就是利用矩阵的初等变换。下面是以上三种形式的定义：1、若满足以下两个条件：（1）若有零行（元全为0的行），则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方；（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零[键入文字]27的个数逐行增加。则为行阶梯型，简称阶梯型。2、首非零元为1，且首非零元所在的列其他元都为0的行阶梯形称为行最简矩阵，简称最简形。3、对任何m*n矩阵A，必可经有限次初等变

7、换化为如下形式的矩阵我们称N为矩阵A的等价标准形。此标准形是有m，n，r完全确定的，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的个数。是否每个矩阵都能经过初等变换化为行阶梯型或行最简型呢？下面这个定理给出了肯定的回答。定理1：任意m*n矩阵A总可以经初等变换行阶梯型及行最简型矩阵。推论：m×n矩阵A经过初等变换化为的行最简型是唯一的。例：[键入文字]27则B为阶梯型，C为最简型。四、求矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数值特征，是反映矩阵本质属性的一个不变的量。它在线性方程组等问题的研究起着非常重要的作用。下面我们介绍一下矩阵秩的求解方法

8、。1.矩阵的秩的定义：如果矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全为0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A)或r(A)，并规定零矩阵的秩为0.由定义可得：（1）若矩阵A有一个r阶子式不等于零，则（R）≥r,若矩阵A的所有r