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1、二次曲线有关弦的中点问题解法的探讨22Xy_例1椭圆36+T的弦被(4,2)点所平分，求此弦所在的直线方程。这样的题一般解法是：解1：(待定系数法)设所求直线方程为：y—2=k(x—4)即¥=1^—4k+2将其代入椭圆方程，消元后整理得关于x的一元二次方程(4k2+l)X2-(32K2-16k)x-64k-20=0,V(4,2)在椭圆内且是直线与椭圆相交弦的中点。工1+勺32尸-16上2=4,由韦达定理可知x+x2=4妒+1o16奇-8-]・・・4K2+1=4,解得k=—2.:.所求直线方程为3—2)=—(x-4).即x+2y-8=0.,4xj2+4yj2=36①②③④⑤解2：(代点法
2、)设过(4,2)点的线与己知椭圆相交于A(x.,yi),B(x2,y2)两点，则有:4x22+4y22=36又1+又2』•^=4~2~^4①一②得(xi2—x/)+4(yi?—y22)=0.即(xi+x2)(xi—x2)+4(yi+y2)(y【一y2)=0QL1将③④代入可求得即k=7一工2=-2即1<=一公，以下同上。这两种解法无可非议是正确的。但运算较为烦琐。笔者在多年的教学实践中，总结出一种解这类问题的方法。供同行参考。k一龙尸卜一斤尸设椭圆方程为：a2+b2=l(a>b>0,km表示椭圆以A(x.y,),B(X2,y2)为端点的弦AB的斜率,令M(Xo,Y。)为AB的中点，M与
3、椭圆中心0,(h,k)连线的斜率为km则有(I)b2kom.kiB——白因为山A,B在椭圆上，可得：b2=(xi—h)1+a2(yI—k)2=a2b22,b2=(X2—h)2+a2(y2—k)2=a%2,两式相减后再变形,即得:b2(xi+x2—2h)(xlX2)+a'(yi+y2—2k)(y>—y-2)=0.M是AB的中点，「・所以Xi+X2=2Xo,y〕+y2=2yo代入上式，可得b2(X0—h)(Xi—X2)+a2(y0—K)(yi—yz)=0.依题意,kAB,ko、存在，所以Xo」h,故有b2b2(气-力房一勺)=_/即心朋=—/对于双曲线：a2+b2=1(a>o,b>0)同
4、理可得0Kar=—a2(11)对于抛物线(x—h)2=±2p(y—k)或(y—k)2=±2p(x—h)也可有■PKab=±p或Kar=±y_*.下而举例对公式(i)(ii)(no的应用.1_9_上而一题可：0'(0,0),M(4,2),a2=36,b>=9,即Kab・T=一式，Rab=—2.・.・所求直线方程y-2=2(x-4)即x+2y—8=0。&一3)匕(y—2)z例2求椭圆一！-+=1中斜率为2的平行弦的中点轨迹。解：椭圆的中心0'(3,2),疽=9,b2=l,令弦的中点为M(x,y),贝Uy—2ko'M=x—3,瞄=2y—24_山公式⑴可得：・2=一瓦化简得：2x+9y—24=
5、0,即为所求轨迹。例3求证经过椭圆的一个焦点的弦的中点轨迹仍然是一个椭圆。证明：设椭圆方程为:b2x2+a2y2=a2b2-焦点为F(c,o),c=Va2+b2.又过焦点F的弦为ABc其中点为M(x,y),当M不是原点或焦点F时，山公式(I)得:b1yy—X■x~-c=—a2.整理得：b2x2+a?yL，—b2cx=0.原点和焦点F的坐标显然也满足此方程，此方程配方后可化为:(x-f)2!y2(3)2亨=]可见，此方程表示的是以(c/2,。)为中点，焦点在x的轴上的椭圆。例4双曲线x2-2y2+4y+3=0的一,条弦AB被点M(-5,2)平分，求AB所在的直线方程。(x—S)?(y—l
6、)Z解：程可化为刀一一F—=1,设所求宜线AB的斜率为k,O'(3,1).山公式(II)2—12可得:—5一3,k=4故直线AB的方程为：y-2=-4(x+5)即：4x+y+18=0为所求。例5线段AB的长度为定为L,它的两个端点在抛物线y=x2±移动，求动线段AB的中点的轨迹方程。解：山题意可知AB不平行于y轴。设AB所在的直线为y=kx+b.令A(xi,yO,B(X2,y2)A、B中点M(x,y).由AB长为L,得:(xi—X2)'+(y】一y2)‘①消去A(x>,yi),B(X2,y?)的坐标。ry=kx+b山ly=x2—kx—b=0=>Xi+x2=k,Xi•Xz=—b=>(xi
7、—X2)，=(Xi+x2)2=4xiX2=k'+4b.
