高阶紧致格式.doc

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1、§10.高阶紧致差分格式先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是阶的，则近似的误差就是。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小（-version）或是提高（-version）。但由于计算机资源的限制，不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。通常情形，构造高阶格式需要更多的点。例如：两点差分近似只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似精度越高，需要的点就更多。对于中心差分近似也有类似的结果。但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加

2、复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设。（），取个网格，空间步长，网格点记作（），网格点上的近似解记作。因，导数采用向后差分近似，就有（）实际的计算方案为，（）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为（）这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从开始计算。而初始条件只提供了。因此的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的

3、近似值记作，则差分格式就可写成我们刚才所做的不过是用不同的差分来代替。因此，我们遇到的困难就是：用高阶差分代替，就会涉及更多的点。而我们的问题也就是：有没有不涉及更多点的高阶差分？我们借助算符演算来讨论这一问题。例2：由可推出，于是有上式右端取第一项，就得到一阶差分近似，即如果取前两项，就得到二阶近似即这些就是前面用到的向后差分近似。但如果继续演算，有上式中的系数为零，因此取第一项相当于取了前两项，也能得到二阶精度的近似。即注意到此式中只出现了的一次方，因此只涉及两个点。上面导出了一个新的差分近似，是用差分

4、算子的有理分式表示的，因此称为微分算子的有理函数近似（Pade逼近）。而通常的差分近似都是用多项式表示的。例3：由于是有上式右端取第一项，就得到二阶精度的中心差分近似，即而取前两项，就能得到四阶精度的中心差分近似即但又有和前一个例子一样，上式中只取第一项，就能得到四阶精度的中心差分近似而且该差分近似只涉及三个点。以上的讨论表明，有理函数近似可以达到我们原来的目的，即：有理函数近似具有更高的精度，又不涉及更多的点。下面考虑微分算子有理函数近似在数值格式中的应用。这种有理函数的表达式只是一种算符操作，在实际应用

5、中就需要将有理分式化为整式，过程如下。例4：由有作用在函数上，即将算子展开，就是对中心差分近似也有类似地的结果。例5：由有作用在函数上，即将算子展开，就是以上两个例子表明，有理函数给出的差分近似，会同时有多个点处的导数值出现，需联立求解。而通常的差分近似，只出现一个点处的导数值，可逐点计算。这两者之间的区别，类似于隐式格式与显式格式的区别。正因为如此，微分算子的有理函数近似也称为隐式差分近似。同时，由于涉及较少的点，通常又称为紧致差分近似。例6：将例4中的紧致差分近似应用于例1中给出的初值问题，（）整理后，

6、得到未知解的近似及其导数值近似的联立方程组解得（）对于，利用原方程可给出初值，由此可见，在紧致差分格式的求解过程中，未知解的近似及其导数值的近似都是未知量，是需要联立在一起求解的。上面的例子是一个两点紧致格式，最终得到了一个递推关系式，逐点计算。对于涉及三个甚至更多点的高阶紧致格式，就需要将未知解的近似、、、及其导数值的近似、、、（如果原方程还包括二阶导数，则还有二阶导数值的近似、、、）全部放在一起联立求解。因此，高阶紧致格式中需要求解的未知量比较多，这是它的一个弱点。下面列出一阶导数和二阶导数高阶紧致差分

7、近似的一些结果。1.Pade逼近（三点四阶）2.对称紧致格式（五点六阶）3.对称紧致格式（五点八阶）4.迎风紧致格式（三点三阶）5.迎风紧致格式（五点五阶）6.广义紧致格式（对称三点六阶）上面给出的紧致差分近似，计算一阶导数的紧致差分里不会出现二阶导数的近似值，计算二阶导数的紧致差分里也不会出现一阶导数的近似值。如果突破这个限制，就成为广义紧致差分近似。例如1.广义紧致格式（迎风两点三阶）最后给出一个实例。例7：考虑Burgers方程（对流扩散方程）两点边值问题将空间区域均匀划分成个网格，则空间网格的尺寸为

8、，网格点坐标为（）。在时刻（，是时间步长），将未知函数及其空间导数在网格点上的近似值分别记作，，现假设上一时刻的近似解已经求出，记成，在计算过程中视为已知。于是，在空间区域内的第个网格点（）处，有原方程的差分近似和空间导数的Pade逼近在左边界处，有边界条件原方程的差分近似以及空间导数的广义紧致格式在右边界处，有边界条件在此处，原方程成为还有空间导数的广义紧致格式将所有这些集成在一起，就得到线性方程组