空间向量与空间角课件.ppt

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1、第3课时　空间向量与空间角（1）1.山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.水平地面与山坡斜面所成二面角的余弦值是多少？2．空间角角的分类定义范围异面直线所成的角设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.(0°，90°]直线与平面所成的角直线与它

2、在这个平面内的射影所成的角.[0°，90°]二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.[0°，180°]空间角的向量求法1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错答案：C2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成角等于()A．45°B．30°C．90°D．60°解析：建立如图所示的空间直角坐标系Ax

3、yz，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0，1,0)，答案：A3．向量a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)分别在二面角的两个半平面内，且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为________．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值．求异面直线所成的角，可以先建立空间直角坐标系，求出直线AM与NC的方向向量的坐标形式，再利用向量的夹角公式计算即可．[题后感悟]如何用坐标法求异面直线所成的角？(1

4、)建立适当的空间直角坐标系；(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．(2011·湖北高考)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重

5、合．(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值．[策略点睛][题后感悟]如何利用法向量求二面角的大小？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小．3.底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥

6、平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值．解析：方法一：如右图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝AB＝a，AC＝b，2．如何正确认识二面角？(1)二面角是一个空间图形，它是由两个半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内的角．(2)符号α－l－β表示以l为棱，α、β为两个半平面的二面角．(3)两个平面相交，可以构成四个二面角．(4)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠A

7、OB叫做二面角α－l－β的平面角．【错因】由平面的法向量求二面角大小时，必须分清二面角的大小与向量夹角的大小之间的关系，本错解未注意到二面角实际是一个锐二面角．练考题、验能力、轻巧夺冠