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1、学年论文题目：用定积分法求面积学院：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学学生：王生文学号：7指导教师：郭晓斌用定积分法求面积摘要：定积分是数学当中十分重要的一种方法，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想一般就是切割求和，本文就介绍了几种运用定积分来求面积的方法。其中，列举了普通的例题以及一些重要的问题解决方法。关键字：定积分微元法分割WiththedefiniteintegralmethodforareaAbstract:thedefiniteintegralinthemathisveryimpor
2、tantforamethod,whichistheareaofitsgraphics,oneoftheideasofuse,thispapercuttingsummationiscommonlyuseddescribessomeofthedefiniteintegraltobegareamethod.Amongthem,liststheordinaryexamples,andsomeimportantproblemsolvingmethods.Keyword：DefiniteintegralMicroele
3、mentmethodsegmentation1.求平面区域的面积在求平面区域的面积当中，由于围成平面区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为三种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而分下面三种情况进行讨论。1.1直角坐标系由连续曲线y=f(x)（x≥0），以及直线x=a，x=b（a＜b）和x轴所围成的曲边梯形的面积为：=.y=f2(x)y=f1(x)ab0yx图1如果f(x)在[a,b]上不都是非负的，则所围图形的面积为：=.一般地，由上下两条连续曲线y=f2(x)与y=f1(x
4、)以及两条直线x=a与x=b(a＜b)所围成的平面图形（图1），它的面积计算公式为：A=（1）例题1求在区间[,2]上连续曲线y=lnx,x轴及二直线x=,与x=2所围成平面区域（如图2）的面积。解：已知在[,2]上，lnx≤0;在区间[1,2]上，lnx≥0,则此区域的面积为：A==+=+=.例题2求抛物线y2=x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。解：该平面图形如图所示.先求出抛物线与直线的交点P(1,-1)与Q（9,3）.用x=1把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积
5、为：==.=.所以.本题也可把抛物线方程和直线方程改写成:x=y2=1(y),x=2y+3=2(y),y∈[-1,3].并改取积分变量为y，便得：A===.例题3求两条曲线y=x2与x=y2围城的平面区域（如图4）的面积。解：两条曲线的交点是（0,0）与（1,1），则此区域的面积：.例题4求由两条曲线y=x2,y=和直线y=1围成的平面区域（如图5）的面积.解法一：此区域关于y轴对称，其面积是第一象限那部分面积的二倍。在第一象限中，直线y=1与曲线y=x2与y=的交点分别是（1,1）与（2,1）.此区域的面
6、积为：.解法二：将y轴看作是自变数。在第一象限的那部分区域是由曲线,和直线y=1所围成（y作自变数）。此区域的面积为：.1.2参数方程设曲线C是参数方程x=(t),y=(t),α≤t≤β.其中＇(t)与＇(t)在[α,β]上连续。1）若函数x=φ(t)在[α,β]上严格增加，从而＇(t)≥0.有a=(α)＜(β)=b,则函数x=φ(t)存在反函数t=-1(x),曲线C：y=[-1(x)]、x轴和二直线x=a,x=b围成区域的面积==(1)2)若函数x=(t)在[α,β]严格减少，从而＇(t)≤0,有a=(α
7、)＞(β)=b,则函数x=φ(t)存在反函数t=-1(x),曲线C：y=[-1(x)]、x轴和二直线x=a,x=b所围成的区域面积=.(2)3）如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有(α)=(β),(α)=(β),且在（α，β)曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为A=(或)(3)例题5求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a＞0)的以拱与x轴所围成的平面图形（图6）的面积。xa1a2aA2πay图666666666解：摆线的一拱可取t=[0,2π].所求面积为：==3πa2
8、.例题6求旋轮线：x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a＜0,0≤t≤2π)一拱与x轴围成的区域（如图7）的面积.解：函数x=a(1-sint)在[0,2π]严格增加，或任意的t∈[0,2π]，有x＇=a(1-cost)≥0(仅在[0,2π]上的孤立点使x＇=0)由公式(1)，旋轮线一拱与x轴围成区域的面积：=3πa2.例题7求椭圆：x=acost,y=bsint(0≤t≤2π)的面积.解：椭圆关于x
