高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案（含解析）新人教A版选修.doc

《高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案（含解析）新人教A版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．3.1　函数的单调性与导数[提出问题]已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如图所示．问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．提示：y1′＝1，在R上为正；y2′＝2x，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－，在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其

2、导函数的正负有什么关系？提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数．[导入新知]一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与其导函数有如下关系：导函数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减[化解疑难]在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如，函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝

3、3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.函数与导函数的图象[例1]　已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中为y＝f(x)的大致图象的是(　　)[解]　选C　由题图知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；当x＞1时，xf′

4、(x)＞0，∴f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增．[类题通法]研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[活学活用]函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)解析：选D　从原函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(0，x1)上

5、是增函数，f′(x)＞0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)＞0.结合选项可知，只有D项满足．判断(或证明)函数的单调性[例2]　证明函数f(x)＝在上单调递减．证明：∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.由于x∈，所以cosx＜0,sinx＞0.因此xcosx－sinx＜0，故f′(x)＜0，所以f(x)在上单调递减．[类题通法]利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立，一

6、般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．[注意]　如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．[活学活用]试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是增函数．证明：由于f(x)＝，所以f′(x)＝＝，由于0＜x＜2，所以lnx＜ln2＜1，故f′(x)＝＞0，所以函数f(x)＝在区间(0,2)上是增函数．求函数的单调区间[例3]　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x＋sinx，x∈(0,2π)；(2)f(x)＝2x－lnx.[解]　(1)∵f′

7、(x)＝＋cosx，∴令f′(x)>0，得＋cosx>0，即cosx>－.又∵x∈(0,2π)，∴00，解得x>；令2－<0，解得0

8、的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为减区间．[注意]　当单调区间有多个时，不要写成并集．[活学活用]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3＋；(2)y＝xex.解：(1)函数的定义域为{x∈R

9、x≠0}．f′(x)＝3x2－＝3.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1；由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间