资源描述：
《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积小结导学案新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4平面向量的数量积小结【学习目标】1.理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．【新知自学】知识梳理：1．向量的夹角已知两个________向量a和b，作＝a，＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．2．平面向量的数量积_
2、_________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝__________.可见，a·b是实数，可以等于正数、负数、零．其中
3、a
4、cosθ(
5、b
6、cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．数量积的记号是a·b，不能写成a×b，也不能写成ab.向量数量积满足下列运算律：①a·b＝__________(交换律)②(a＋b)·c＝__________(分配律)③(λa)·b＝__________＝a·(λb)(数乘结合律)．3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)性质几何表
7、示坐标表示定义a·b＝
8、a
9、
10、b
11、cos〈a，b〉a·b＝a1b1＋a2b2模a·a＝
12、a
13、2或
14、a
15、＝
16、a
17、＝若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
18、
19、＝a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＝0夹角cos〈a，b〉＝(
20、a
21、
22、b
23、≠0)cos〈a，b〉＝
24、a·b
25、a·b
26、≤
27、a
28、a1b1＋a2b2
29、≤
30、与
31、a
32、
33、b
34、的关系
35、
36、b
37、对点练习：1．已知下列各式：①
38、a
39、2＝a2；②＝；③(a·b)2＝a2b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个
40、2．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )．A．
41、a
42、＝
43、b
44、B．a·b＝C．a∥bD．a－b与b垂直3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于( )．A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－784．若向量a，b满足
45、a
46、＝1，
47、b
48、＝2且a与b的夹角为，则
49、a＋b
50、＝__________.5．已知
51、a
52、＝2，
53、b
54、＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是__________．【合作探究】典例精析：一、平面向量数量积的运算例1、（1)在等边△ABC中，D为
55、AB的中点，AB＝5，求·，
56、
57、；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和
58、a＋2b
59、.变式练习：如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.规律总结：向量数量积的运算与实数运算不同：(1)若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)c
60、与a(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a，b∈R，则
61、a·b
62、＝
63、a
64、·
65、b
66、，但对于向量a，b，却有
67、a·b
68、≤
69、a
70、
71、b
72、，等号当且仅当a∥b时成立．二、两平面向量的夹角与垂直例2、已知
73、a
74、＝4，
75、b
76、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)若＝a，＝b，求△ABC的面积．规律总结：1．数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得
77、a·b及
78、a
79、，
80、b
81、或得出它们的关系．变式练习：已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．三、求平面向量的模例3、（1）设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则
82、x＋2y
83、＝__________.（2）已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及
84、a＋b
85、；(2)若f(x)＝a·b－
86、a＋b
87、，求f(x)的最大值和最小值．规律总结：利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)
88、a
89、2＝a2＝a·a；(2)
90、a±b
91、
92、2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则
93、a
94、＝.变式练习：已知a与b是两个非零向量，且
95、a
96、＝
97、b
98、＝
99、a－b
100、，求a与a＋b的夹角．四、平面向量的应用例4、已知向量＝a＝(cosα，sinα)，＝b＝(2cosβ，2sinβ)，＝c＝(0，d)(d＞0)，其
