n阶常系数线性微分方程的通解公式.pdf

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1、.,.第12卷第找工科数学Vol12No3期.1996,月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYSept1996牛n阶常系数线性微分方程的通解公式’曹跃颖吴海军李彦庆,(合肥工业大学机械系,5级合肥230009)1.引言,n:众所周知对阶常系数线性非齐次微分方程y‘”’,‘”一‘’Z‘”一2’y一x,(1)+Py+户y十⋯+九f(),,。,,。,,其中pp⋯p为实常数f(x)为实函数求其通解的方法一般是先求对应齐次方程的通解,再求非齐次方程的一个特解,从而根据微分方程解的结构可以得到通解.然而这种方法的缺点也是显而易见的.文[2」讨

2、论了二阶常系数线性微分方程,对其特征方程应用韦达定理给出了二阶常系数微分方程的特解形式.文[3〕也对其特征方程应用韦达定理,利用变量代换把,二阶常系数线性微分方程化为等价的二个一阶线性微分方程并且给出了在特征方程有不同二实根、有相等二实根和有一对共扼复根时,二阶线性微分方程的通解表达式.文〔3〕指出其方.,法原则n上可推广到高阶常系数线性非齐次微分方程来求解事实上利用韦达定理可把阶常系数线性非齐次方程转化为与其等价的n个一阶线性微分方程,从而可以直接求得其通解.2.主要结果定理In阶:常系数线性非齐次微分方程(1)与方程组,r:“;,{y一y一ul,rZuuZ

3、-一一⋯(2)煮::!{丫。一1r。“1气U一一一气,。二,r,,r:,r。,,r二等价其中一f(x)⋯为特征方程尸+Pl尹一’二一,r(+⋯+户+丸=03)的根.证用数学归纳法,.i)n一l时命题显然成立,,i)设n一k时即k命题成立阶常系数线性微分方程少“,:夕‘‘’一;夕“’x+户卜+⋯+九+八夕=f()与方程组肠本:文指导教师唐烁:n第3期曹跃颖等阶常系数线性微分方程的通解公式157,⋯犯暴迁:‘*万厂。,(4)⋯:;止;:等价,其中r,,r:,,r*⋯为特征方程尸+,一‘一、r*Pr*+⋯十勿十P二0的k个根.n,k十:对于一k+1考察1阶常系数线性

4、非齐次微分方程、少“+‘’+,夕“’*少‘。十,夕=x、了.卜仁J八、夕、产,户+⋯+户+户f()对应的齐次方程的:特征方程为‘+Pl产+⋯+八r十.十,r*+户一0:,,,:,,r*,十1,:设⋯八为方程(5)的k+1个根由韦达定理得-⋯擎一Plr,2}万r,一户KI碱i

5、,]卫~11福t

6、‘夕一rly一ulrZuluZ⋯lt一一u_1r*:‘*一l飞一“众-=u止,一r介+一u盛u介+1=,,.等价由此说明对于n二k+1时(1)与(2)等价,综合i)i)可知命题对一切自然数成立158工科数学第12卷n,r

7、,,r:,n定理2对于阶常系数线性非齐次微分方程(1)设⋯几为其特征方程(3)的个根,则(l)的通解为:erZ二⋯:e、二!,工l::〔,‘d+c〕一{J{{一.·e一、一,’dxZe一r:‘dx。一:e一rl’x二+C]⋯〕+C〕d+C〕证由定理1及一阶常系数线性微分方程的通解形式易得例求四阶微分方程夕“’夕(3’夕,‘夕‘x+10+35+50+24夕=+1的通解.:解其对应的齐次齐程的特征方程为r4r3r2()r,+10+35十5+24=0由此解得:特征方程的根为,,,r。八-一1八-一2八-一3-一4.由定理1知上述四阶微分方程为方程组u3’:乙3x,、

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10、十4一十1z‘2’u::‘。,+3~u一’u一u:,十Z=了+y一!’l的等价方程.解之得u3le一“,一++c奋矗UZl‘二一“,一+一c一+c沁鑫众·‘·UllCZ‘3,一’一++C一+C矗瑞合一所以原方程通解为、.‘,,。,,,,131~_1~_~_,_y’一七2“~反一万Lle十百‘碑一十‘碑一骊一n,,,对于阶常系数线性微分方程求其通解本文提出了一种行之有效的方法它不需要记忆只,,需记住一阶线性微分方程的通解形式采用逐步递推的方法可以求出其通解它的主要思想是把高阶微分方程通过韦达定理转化为一阶微分方程.参考文献〔1]合肥工业大学高等数学

11、编写组.高等数学(下).科学技术文献出