离散数学-群课件.ppt

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1、第7章群、环和域《离散数学》课程讲义课件大连海事大学计算机科学与技术学院本章及第8章讨论一些具体的代数系统：群、环、域、格与布尔代数等内容。具有一个二元运算的群；具有两个二元运算的环和域；具有两个二元运算的格；具有两个二元运算和一个一元运算的布尔代数；我们只讲一下群。7.1半群与独异点1.半群与独异点定义7.1.1给定，*是S上的二元运算，（1）若*是可结合的，则称为半群。注：半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数系统。（2）若*是可结合的且具有幺元e，则称为含幺半群或独异点，

2、并记作.例7.1.1，是半群，也是含幺半群。例7.1.3<ρ(S),∪>是半群,幺元是Φ，<ρ(S),∩>也是半群,幺元是S,都是含幺半群P196习题-2x□(y□z)=x□(y*a*z)=x*a*(y*a*z)=(x□y)□z=(x*a*y)□z=(x*a*y)*a*z(由*可结合的）2.可交换半群定义7.1.2若是半群，若运算*是可交换的，则称为可交换半群。例，是半群，且是可交换半群。例设S为非空集合，则〈ρ(S)，∩〉,〈ρ(S)，∪〉（1）运算

3、“∩”和“∪”可结合，是半群；（2）运算“∩”存在幺元S，“∪”存在幺元Φ，是含幺半群；（3）运算“∩”和“∪”可交换，是可交换半群；故〈ρ(S)，∩〉和〈ρ(S)，∪〉是可交换含幺半群。3子半群(定义7.1.3)设是半群，且非空HS.若运算*在H上是封闭的，则也是一个半群，称是的子半群。设是含幺半群，且HS.若运算*在H上封闭且eH，则称是的子含幺半群(子独异点)。例是半群，IR，且×在集合I上封闭，则是

4、的子半群。例是一个半群，*运算的运算表如左下：d是幺元；<{d},*>,<{c,d},*>,<{b,c,d},*>是其含幺子半群；<{b,c},*>,<{c},*>是其子半群；<{a,b},*>不是其子半群。*abcdadcaabbbbbcccccdabcd定理7.1.1设是一个半群，若S是个有限集，则必有aS，使得a*a=a.定理7.1.2设是一个含幺半群，则关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。定理7.1.3设是一个可交换含幺半群，H是S的等幂元素所构成的集合，则<

5、H,*>是的子含幺半群。证由幺元eS且是等幂的，所以eH；设a,bH,因H中元素都是等幂的，故a*a=a,b*b=b,可得(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b说明a*b也是等幂的，故a*bH，即*对于H是封闭的。故是的子含幺半群。4循环半群定义7.1.4给定半群(或含幺半群),若存在g∈S，对任意a∈S，都有n∈N，使得a=gn，则称该半群为循环半群（或循环含幺半群）。称g为循环半群的生成元，亦称元素g

6、生成了循环半群。例代数系统是个循环半群，它的生成元是1.例7.1.8P172循环半群证明定理7.1.4任何一个循环半群（或含幺循环半群）都是可交换半群（或含幺可交换半群）。定理7.1.5设是一个半群，H是S中任一元素的幂所构成的集合，则是的子半群，且是个循环子半群。(该定理的证明自己练习)5半群同态定义7.1.5设U=和V=是两个半群，ο和*都是二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：f(xοy)=f(x)*f(y)(运算的象=象的运算）则称f是代数系

7、统U到V的一个半群同态映射（简称同态）与代数系统同态概念完全一样。定理7.1.6设f为从代数系统和满同态映射，若是半群（或含幺半群，可交换半群），则也是半群（或含幺半群，可交换半群）。由满同态单方向地保持性质可直接得到结论。7.2群的定义及基本性质1.群的基本概念群的定义设是一个代数系统，若二元运算*满足（1）可结合性（结合律）半群（2）存在幺元（单位元素）含幺半群（3）G中每个元素都存在逆元.群则称代数系统是群。注：群是半群和含幺半群的特例。有限群设是一

8、个群，若集合G是无限集,则称是无限群。否则称为有限群，

9、G

10、称为群的阶。阿贝尔群设是一个群，若*是可交换的,则称群为可交换群或阿贝尔群。例不是群；而是群。例7.2.1是阿贝尔群。例7.2.2G={α，β，γ，δ}，验证