考点103-轨迹与轨迹方程.doc

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1、考点103轨迹与轨迹方程 一、课本基础提炼 1．求曲线(图形)方程的具体步骤  　　这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” 2．求曲线方程的常见方法有：直接法、相关点法、几何法、参数法、交轨法等. 3.辨明两个易误点： 　(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围)． 　(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． 二、二级结论必备 1.椭圆（a＞b＞0）的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是;双曲线（a

2、＞0,b＞0）的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 2.若P是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的一点,PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.；若P是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的一点,PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.  1.直接法求轨迹方程 　　直接法求轨迹方程就是直接利用条件建立x,y之间的关系f(x,y)＝0.也就是：建系设点、列式、代换、

3、化简、证明,最后的证明可以省略,必要时加以说明.直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法,也是高考考查的重要内容． 　　例1.线段AB与CD互相垂直平分于点O,

4、AB

5、＝2a,

6、CD

7、＝2b,动点P满足

8、PA

9、•

10、PB

11、＝

12、PC

13、•

14、PD

15、,求动点P的轨迹方程. 【解析】 　　以AB中点O为原点,直线AB为x轴,直线CD为y轴建立直角坐标系,  　　如图所示,设P(x,y),易知A(－a,0),B(a,0),C(0,－b),D(0,b),∵动点P满足

16、PA

17、•

18、PB

19、＝

20、PC

21、•

22、PD

23、,∴由两点间距离公式,得 　　 　　化简得 【点评】 　　直接法求曲线的轨迹方程时,建立适当

24、的坐标系非常重要.建立适当的直角坐标系一般应遵循两原则：①对称性原则：坐标轴为曲线的对称轴,坐标原点为曲线的对称中心；②过原点原则：在优先满足①的情形下,尽量让曲线经过原点,这样方程可减少一个常数项.(2)此题化简方程的运算量较大,作为训练运算能力不失为一道好题.注意将无理式两边平方后相乘时,小括号不要急于打开,要尽可能利用乘法公式. 2定义法求轨迹方程 　　定义法求轨迹方程就是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. 　　例2.一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切,同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么

25、曲线.  【解析】 　　两圆的方程可以分别化为 　　C1：(x＋3)2＋y2＝4,C2：(x－3)2＋y2＝100,∴两圆的圆心分别为C1(－3,0),C2(3,0),半径分别为r1＝2,r2＝10. 　　设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,两切点为T1,T2. 　　由平面几何的知识知：

26、MC1

27、＝r1＋r,

28、MC2

29、＝r2－r, 　　∴

30、MC1

31、＋

32、MC2

33、＝r1＋r2. 　　∴动圆圆心M到C1与C2的距离之和为定值. 　　由椭圆的定义知,动圆圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点,以为长半轴长的椭圆,其方程为 【点评】 　　本题是利用常见曲线的定义求其方程的典型例子,求解过程充分运用

34、了平面几何的知识.一般来说,利用定义法求曲线的轨迹方程常伴有平面几何知识的应用. 3.几何法求轨迹方程 　　几何法求轨迹方程就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法. 　　例3.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴非负半轴于A点,l2交y轴非负半轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.  【解析】 　　解法一：设点M坐标为(x,y). 　　∵M(x,y)为线段AB中点, 　　∴点A,B的坐标分别为A(2x,0),B(0,2y). 　　∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4), 　　∴kPA•kPB＝－1,即 　　化简得x＋2y－5＝0(x≠1). 　

35、　当x＝1时,A,B分别为(2,0),(0,4), 　　∴线段AB的中点为(1,2),满足方程x＋2y－5＝0(x≥0,y≥0). 　　综上得M的轨迹方程为x＋2y－5＝0(x≥0,y≥0). 　　解法二：设M(x,y),则A(2x,0),B(0,2y).  　　∵PA⊥PB,M为AB中点, 　　 　　 　　 　　化简得x＋2y－5＝0(x≥0,y≥0),即为所求. 　　解法三：设M(x,y). 　　∵M(x,y)为线段AB中点,∴A(2x,0),B(0,