线性代数教学小论文

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1、论线性代数应用特征摘要本文从萌芽、发展的角度观察、分析线性代数，剖析线性代数的应用特性。由于不拘泥于教材，从历史发展、思想方法、应用性等方面娓娓道来，自有一种人文情怀蕴含其中，带领读者领略线性代数的另一番学科文化面貌。关键词：应用性,线性方程组,坐标几何,结构问题,线性代数论文,线性代数教学,线性代数,小论文,论证数学,实用数学,线性变换,几何,线性运算,微积分,非线性贯穿数学发展的思想有两个，即希腊贵族学院式的论证数学与平民化的实用数学。线性代数可以说是从应用中来到应用中去的一门学科，尽管其发展与原上草论文网代写教学论文表达形式，脱离不了欧几里得经典几何的模式与影响。1.从应

2、用中来公元四世纪我国《孙子算经》中有鸡兔同笼问题如下：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”该问题的求解方法有很多，不过，采用列方程组的方法求解是很方便的。设鸡和兔的个数分别为x和y，则可建立如下一次方程组：x+y=352x+4y=94容易求得x=23,y=12无独有偶，《张丘建算经》中的百鸡问题：百钱买鸡百只，小鸡一钱三只，母鸡三钱一只，公鸡五钱一只。问小鸡、母鸡、公鸡各多少只？通过建立三元一次线性方程组，可类似求得解。以上两例表明，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。同时，我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历

3、法需要的推动。可以说，历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题。2.坐标几何促发展线性代数(linearalgebra)作为代数学的一个分支，以向量空间与线性映射为研究对象的近代发展，则与法国数学家费马(Fermat,1601—1665)和笛卡儿(Descartes,1596—1665)创立的坐标几何[1]工作直接相关。因此，线性代数基本上出现于17世纪。从古希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地位。1600年以后，代数成为基本的数学部门。笛卡尔与费马提出的坐标几何改变了数学的面貌。坐标几何把数学造成一个双面的工具。几何概念可用代数表示，几何的目标，可

4、通过代数达到。反过来，给代数语言以几何解释，可以直观地掌握那些语言的意义。坐标几何的显著优点，在于它提供了科学久已迫切需要的数量的工具。笛卡尔批评希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖于图形。在长期的数学家的实践中，笛卡尔不仅掌握了专门的代数知识，并且看到了在提供广泛的方法论方面，代数的力量，看到了代数作为一门普遍的科学方法的潜力。因此，他主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。他说：“所有人们能够知道的东西，也同样是互相联系着的。”笛卡尔在用代数解决几何作图的问题中，提出了用方程表示并研究曲线的思想，根据方程的次数对曲线分类，取消了希腊人关于判定曲线是否存在以是否可以

5、画出为判别的标准；接着又提出用同一个坐标轴来写出两个不同曲线的方程，并且联立地解出这两个方程来求出这两条曲线的交点。笛卡尔把代数提高到重要地位，这个关键思想使人们能够认识典型的几何问题并且能够把几何形式上互不相关的问题归在一起，代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次，意义重大。因此，体系和结构就从几何转移到代数，代数比几何变得更为重要。当然，随后，微积分和无穷级数进入数学，牛顿（Newton）和莱布尼茨(Leibniz)都认为微积分是代数的扩展。比如微积分中研究曲线的各种性质时往往采用“以直代曲”的思想，这里的“直”，自然是一次线性函数所对应的直线，说明了线性方法应用

6、的普遍性。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力。这就是实数向量空间的第一个例子。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用9维向量来表示

7、9个国家的国民生产总值。当所有国家的顺序排定之后，比如(中国，美国，日本，英国，法国，德国，澳大利亚，西班牙，印度)，可使用向量(v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9)显示这些国家某一年各自的国民生产总值。这里，每个国家的国民生产总值都在各自的位置上。因此，线性代数处理的是几何对象，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。从这个角度来看的话，可以说线性代数正是代数方法应用于几何问