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1、第六章线性空间1.设证明：。证任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪一种情形，都有此即。但所以。2.证明，。证则在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，则在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故于是。若。在前一情形X，。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平
2、面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：；2）集合与加法同6），数量乘法定义为：；3）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：，；解1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如。2）令V={f（A）
3、f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}因为f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线
4、性空间。3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有，A+B仍是反对称矩阵。，所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，-b）。对于数乘：即。＝，＝＝＝＝，即，所以，所给集合构成线性空间。6）否，因为。7）否，因
5、为，所给集合不满足线性空间的定义。8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足所以，所给集合构成线性空间。4在线性空间中，证明：1）2）。证1）。2）因为。5证明：在实函数空间中，1，式线性相关的。证因为，所以1，式线性相关的。6如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证若有不全为零的数使，不妨设则，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以线性无关。7在中，求向量在基下的坐标。设1）；2）。解1）设有线性关系，则，可得在基下的坐标为。2）设有线性关系，则
6、，可得在基下的坐标为。8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间P；2）P中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=。解1)的基是且。2)i)令，即其余元素均为零,则是对称矩阵所成线性空间的一组基,所以是维的。ii)令，即其余元素均为零,则是反对称矩阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。iii)是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数,可经2线性表出，
7、即.,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。4)因为,,所以，于是，而。9.在中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设，，在下的坐标；，，在下的坐标；，，在下的坐标；解（）=（）=（）A这里A即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，得（）=（），于是（）=（），所以在基下的坐标为，这里=。令则（）=()=()A，（）=()=()B，将()=（）代入上式,得（）=（）B，这里=,B=，且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有=()=（）=（），所以在下的坐标为。同，同理可得A=B==则所求由到的过渡矩阵为B=
8、。再令+b+c+d，即，由上式可解得在下的坐标为下的坐标为。10．继第9题1）求一非零向量，它在基与下有相同的坐标。解设在两基下的坐标为，则=（）=（）。又因为（）=（）=（）A，所以=A（A-E）=0。又，于是只要令，解此方程组得=(c为任意非零常数)，取c为某个非零常数，则所求为。11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设都是线性空间的子空间，且，证明：如果的维数与的维数相等，那么。证设dim()=r，则由基的扩充定理，可找到的一组基，因，且它们的
9、唯数相等，故，也是的一组基，所以=。13．。1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；2）当A=E时，求C（A）；3）当A=时，求C（A）的维数和一组基。证1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得A(B+D)=AB+AD=BA+D
