大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习).pdf

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1、.'○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）高等数学（本科少学时类型）（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，第一章函数与极限则limfxgx0第一节函数（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）1○邻域（去心邻域）（★）无穷大，则fx为无穷小；反之，若fx为无Ua,x

2、xa1穷小，且fx0，则fx为无穷大Ua,x

3、0xa【题型示例】计算：limfxgx（或x）xx0第二节数列的极限1．∵fx≤M∴函数fx在xx0的任一去心○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列xn，证明limxna邻域Ux0,内是有界的；x【

4、证明示例】N语言（∵fx≤M，∴函数fx在xD上有界；）1．由xa化简得ng，n2．limgx0即函数gx是xx0时的无穷小；xx0∴Ng（limgx0即函数gx是x时的无穷小；）x2．即对0，Ng，当nN时，始终3．由定理可知limfxgx0xx0有不等式xa成立，n（limfxgx0）∴limxaxnx第五节极限运算法则第三节函数的极限○极限的四则运算法则（★★）○xx0时函数极限的证明（★）（定理一）加减法则【题型示例】已知函数fx，证明limfxA（定理二）乘除法则xx0关于多项式px、qx商式的极限运算【证明示例】语言mm11．由fxA化简得0xx0g，

5、pxa0xa1xam设：nn1∴gqxb0xb1xbn2．即对0，g，当0xx0时，nm始终有不等式fxA成立，pxa0则有limnmxqxb∴limfxA0xx00nm○x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数fx，证明limfxAfx0xgx00gx0【证明示例】X语言fx1．由fxA化简得xg，limxx0gx00,fx00gx0∴Xggxfx00002．即对0，Xg，当xX时，始终有fx0不等式fxA成立，（特别地，当lim（不定型）时，通常分xx0gx0∴limfxAx子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极第四节无穷小与无穷大限值，也可以用罗比

6、达法则求解）○无穷小与无穷大的本质（★）函数fx无穷小limfx0x3【题型示例】求值lim2函数fx无穷大limfxx3x9;..'x1x1x1【求解示例】解：因为x3，从而可得x3，所以原2x32x122解：limlimlim1x3x311x2x1x2x12x12x1式limlimlim22x3x9x3x3x3x3x36x12x122x12x1x1222x122x3lim1lim1其中x3为函数fx的可去间断点2x12x12x12x12x9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：2limx12x12x12x12limx10222x12x1x30x3112x

7、lim11e2x1解：limlimlim2x3Lx3x3x922x6x92x2lim2x12x11eee○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）么，limfxflimxxxxxU~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1U)001．Ux3~e1【题型示例】求值：lim2x3x9122．U~1cosUx3x3162【求解示例】limlimx3x29x3x2966（乘除可替，加减不行）ln1xxln1x【题型示例】求值：lim2x0x3x第六节

8、极限存在准则及两个重要极限【求解示例】○夹迫准则（P53）（★★★）解：因为x0,即x0,所以原式limln1xxln1x2x0sinxx3x第一个重要极限：lim11xln1x1xxx11x0xlimlimlimx0xx3x0xx3x0x33sinx∵x0,，sinxxtanx∴lim1第八节函数的连续性2x0x○函数连续的定义（★）lim1x1x0limfxlimfxfx0limlim1xx0xx0x0sinxx0sinxsinxlim○间断点的分类（P67）（★）xx0x跳越间断点（不等）sin(xx0)第一类间断点（左右极限存在）（特别地，lim1）可去间

9、断点（相等）xx0xx0第二类间断点无穷间断点（极限为）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）x（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）1第二个重要极限：lim1e2xex0xx【题型示例】设函数fx，应该怎样选gxlimgxaxx0（一般地，limfxlimfx，其中择数a，使得fx成为在R上的连续函数？limfx0）【求解示例】201x1f0eee2x3【题型示例】求值：lim1．∵xf0a0a2x1【求解示例】f0a2．由连续函数定义limfxlimfxf0ex0x0∴ae;..'第九节闭区间上连续函数的性质1【题型示例】求函数fx的导数○零点定理（★

10、）【求解示