线性代数教材问题详解.doc

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1、第二章习题2-24.求出代数式中的非零项，一般项为，只有当时，，所以。，对一般项只有当或者或者或者时，，所以=-+-.找非零项。当时，，假设，则，则，即，同理可以得到其他情况也是一样的，即不可能同时非零，所以行列式的所有项均为0，即行列式的值为0.习题2-31．利用行列式性质，计算下列行列式：(1)；(2)；(3)；(4)2．证明：(1)（2）（3）转置后得，所以当为奇数时，3.设四阶行列式，请分别按第4行和第4列展开的方法计算该行列式的值．按第4行展开按第4行展开略。习题2-41.利用化三角形法计算下列行列式：(1)(2)(3)(4)(5

2、)从第二行开始后面隔行减去第一行得将第三行逐渐与上一行交换直至到第一行，然后将第三列与第二列交换，得：从第三列开始均减去第二列得2．用降阶法计算下列行列式：(1)(2)(3)(4)(5)从第二行开始均减去最后一行得(6)3．选择适当方法，计算下列行列式：(1)；(2)(3)(4)为德蒙行列式，则(5)从最后一列开始，将后一列的倍加到前一列上去得：(6)按第一行展开均按最后一列展开得：，由此可以得到：4．证明：=1；证：从最后一行开始后一行减去前一行得第三章习题3-21.设求(1)(2)(3)(4).解：1.设,为3阶矩阵,且,求.解：2.设

3、为阶方阵,且,证明.证：所以。3.设,为阶方阵,且为对称矩阵,证明也是对称矩阵.解：为对称矩阵，所以，则所以也是对称矩阵。4.设,为对称阵,试证为对称矩阵,为反对称阵.证：,为对称阵，所以，则所以为对称矩阵,为反对称阵.5.设,求.解：设，可交换，所以，所以7.略8.设是实对称矩阵，且,证明.证：设，因为是实对称矩阵，所以；令，而，所以，的主对角线元素也为0，即，而，所以，即。9.略习题3-31.略2．解下列矩阵方程:(1)；(2)；(3)；(4)3．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)(2)4．设为阶方阵,且,证明与均可逆,并求及.证：而，

4、则所以与均可逆，且，。5．设为5阶方阵,且,求.解：6．设阶矩阵满足,是正整数,试证可逆,且.证：，所以可逆,且.7．证明:如果,而,则必为奇异矩阵.证：，假设为可逆矩阵，则，这与矛盾，所以必为奇异矩阵.8．设,其中,,求.解：，，所以9．已知为4阶方阵,且,求.解：10．略。习题3-41．计算．解：令则所以1．设矩阵，求．解：，所以3.略．4.设是矩阵,是矩阵,是矩阵,证明:的充分必要条件是的每一列都是齐次线性方程组的解.证：令，则则即的充分必要条件是的每一列都是齐次线性方程组的解.习题3-51．求下列矩阵的逆矩阵:，所以（2）（3）（4

5、）略2．利用初等变换求解下列矩阵方程:解：，所以，所以（3）（4）略1．设,,求.解：，所以。1．设是4阶可逆方阵,将的第二行和第三行对换得到的矩阵记为.证明可逆,并求.证：，均可逆，所以可逆。，所以习题3-64．设都是矩阵，证明的充分必要条件是．证明：若，则显然；若，设，由都是矩阵，则有相同等价标准形矩阵。由等价的传递性，有。5．设,问为何值时,可使；；.解，当时，即。当时，即时，必有，所以当时，即时，；当，即时，。6．设是阶方阵,若存在阶方阵,使,证明.证：假设，则A可逆，又，则，这与已知矛盾，所以。7．已知,若,求的值.解：，8．确定

6、参数，使矩阵的秩最小．当时秩最小，即时秩最小，最小为2.第四章习题4-13．判断下列方程组是否有解?如有解，求出其解：(1)，所以，无解。(2)所以，有无穷多解。进一步进行初等行变换所以，令得通解为(3)所以，有唯一解。进一步进行初等行变换所以4．a取何值时，方程组有解？有解时求出其解．解：当时，，有无穷多解，此时，令，得通解为当时，，有唯一解。此时：所以。5．设有线性方程组，证明：若两两互不相等，则此线性方程组无解．解：增广矩阵的行列式为德蒙行列式，当两两互不相等时，此行列式不等于零，所以增广矩阵的秩为4，而系数矩阵的秩显然小于4，所以线

7、性方程组无解。6．求解下列齐次线性方程组：(1)；解：所以，通解为：(2)略．7．略。习题4-21．略2．证明：向量是向量组的线性组合，并将用表示出来．证：令，则，所以是向量组的线性组合，且3．4.略5．若，，，，且可由向量组线性表示，求．解：令，，则，显然，当时，总有。习题4-31．判断下列向量组的线性相关性：(1)；解：向量维数小于向量个数，必相关。(2)；解：，所以线性无关。(3)；解：令，则，此行列式为德蒙行列式，且不等于0，所以向量组线性无关。(4)．解：向量（3）线性无关，向量组（4）是在（3）的基础上同事增加第5个分量，所以向

8、量组（4）也线性无关。2．判断下列命题是否正确，为什么？(1)若向量组是线性相关的，则一定可以由线性表示；错，只能说其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示，不一定是。(2)如果