线性代数考研辅导班讲义ppt课件.ppt

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1、线性代数东南大学数学系周建华1考生应注意的问题：2目录第一部分行列式第二部分矩阵第三部分向量第四部分线性方程组第五部分特征值、特征向量第六部分实对称矩阵和二次型第七部分向量空间历年试题3第一部分行列式4一行列式的定义的行列式定义为矩阵5678二行列式的性质不必会证明，但要会熟练运用。92.上述性质的一些推论(1).如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零；(2).如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零；(3).如果行列式有两行的元素对应成比例，则其值为零.103.行列式按行、列展开：114.行列式乘法定理：1

2、25.分块矩阵的行列式：13容易出现的错误141516三行列式的计算1.分类：按阶数大小分----低阶、高阶；按元素分----数字、字母。2.典型方法：化成低阶行列式；化成三角形行列式。3.注:很少直接用定义计算；应先化简，后计算；对高阶行列式来说，对角线法则不成立。17181920212223其中，每个均不为零。24其中，每个均不为零。25262728第二部分矩阵29一矩阵的代数运算1.运算规律3031322.应当注意的问题问题333435问题：什么时候成立？36二.可逆矩阵矩阵A可逆的条件(1)A的行列式不为

3、零（非退化）；(2)A秩等于其阶数（满秩）；(3)存在矩阵B，使得AB=E（可逆）；(4)A的特征值均不为零（非奇异）。372.逆矩阵的计算利用伴随矩阵。利用初等变换。383.重要性质，如3940414伴随矩阵(1).伴随矩阵的定义；42Lapremiere43444546475矩阵方程各种类型的矩阵方程，应先将其化简成标准形式,然后再求解。48三分块矩阵49注：50几种常用的分块法：5152535455565758596061四矩阵的秩62636465662．矩阵的等价标准形6768693.矩阵的运算与秩707

4、17273744.初等变换与初等矩阵75767778向量第三部分79一.概念线性组合和线性表示；线性相关和线性无关；极大无关组和秩801.线性组合和线性表示8182Ladeusieme83842.线性相关和线性无关85863.极大无关组和秩87重要结论:888990二.常用命题注意命题的不同表达形式。91（2）重要命题92三.判别方法93949596979899简化阶梯形矩阵100以给定向量组为列向量作一矩阵A用初等行变换将A化成阶梯形矩阵B找出B中的非零首元A中与这些非零首元相对应的列就是所求向量组的极大无关组

5、向量组极大无关组的求法:101第四部分线性方程组102一.解的存在性、唯一性103二.解的结构齐次线性方程组104齐次线性方程组的解的结构105齐次线性方程组的基础解系106重要结论1071082.非齐次线性方程解的结构109110111三.求解112113114115116五平面、直线的相对位置117解：两直线不平行：B的秩为3，故前两行不成比例。118其次，两直线在同一平面内：119120121第五部分特征值特征向量122123124125126Latroisieme127128129130131132133

6、134二.两个矩阵相似的必要条件135136137138三.可相似对角化问题139注2：140推论：没有重特征值的矩阵一定相似于对角阵。141142143144145146147148149第六部分实对称矩阵和二次型150151152153154Laquatieme155156157158159160三.二次型的矩阵161162163164165166167168169170已知实矩阵171172对于实称矩阵而言,相似的矩阵是否合同?合同的矩阵是否相似?173五.正定性174175176177178179180六

7、.二次型与二次曲面181182183184Lacinqieme185第七部分向量空间186187188189190191192193194195196197198199200201202三.基变换和坐标变换203204205206207208四.向量空间的标准正交基209210211历年考题21203年考研题（数学一,填空题,4分）本题得分率：45.4%。21303年考研题（数学一,选择题1,4分）本题得分率：61.9%。21403年考研题（数学一，选择题２，４分）本题得分率：80.2%。21503年考研题（数学

8、一，１０分）本题得分率：36.7%。21603年考研题（数学一，８分）本题得分率：25.8%。21704年考研题（数学一，填空题，４分）21804年考研题（数学一，选择题１，４分）21904年考研题（数学一，选择题２，４分）22004年考研题（数学一，９分）本题得分率：36%。22104年考研题（数学一，９分）本题得分率：29%。22205年考研题（数学一、二，填空题，４