第12章能量原理讲解ppt课件.ppt

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1、第12章能量原理(PrincipleofEnergy)12.1概述12.2杆件变形能的计算12.3变形能的普遍表达式12.4互等定理12.5卡氏(Castigliano)定理12.6虚功原理12.7莫尔积分法12.8静不定结构概述固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称为能量原理。对构件的变形计算及静不定结构的求解，能量原理都有重要作用。近年来计算力学的兴起，使能量原理更受重视。变形能——固体在变形过程中，固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而作功；同时，弹性固体因变形而具备了作功的能力，表明储存了变形能。在下列条件下加载缓慢均匀（保证是静态）没有其它能量的

2、损失（如动能、热能等）则有即认为外力对系统所作的功全部转化为能量储存起来。在弹性范围内此过程是可逆的，即12.2杆件变形能的计算只要载荷不卸去，则外力功以能量的形式储存，其变形能为轴向拉伸或压缩外力功对变化的内力或抗拉刚度情况，则有变形比能（单位体积的变形能）纯剪切考虑右图示单元体（厚度为1），单元体左边不动，右边在剪应力作用下的功为其变形比能为右图示受扭圆轴，其变形为根据理论力学，外力偶所作的功为对于参数变化的情况有扭转纯弯曲轴向拉伸、扭转和弯曲时的外力功（或变形能）可统一写成广义力和广义位移的形式横力弯曲时变形能例题轴线为半圆形的平面曲杆如图所示，作用于A端的集中力P垂直于轴线

3、所在的平面。试求力P作用点的垂直位移。解：选择图示坐标系，在mn截面上的内力为曲杆的变形能为假设沿力P方向的位移为dA，则P所作的功为从而有重要结论——横力弯曲的弯曲变形能和剪切变形能以矩形截面为例另外例题以图示简支梁为例，比较弯曲和剪切两种变形能。设梁的截面为矩形。解：由梁的内力方程及内力图的对称性，得其比值为可见，只有对短梁才应考虑剪切变形能，对长梁可忽略不计。对矩形截面梁12.3变形能的普遍表达式推导变形能普遍式的假设与前提无刚性位移局限于小变形，即广义位移与广义力成正比弹性体在变形过程中储存的变形能，只决定于外力和位移的最终值，与加力次序无关从理论力学中知，这属于变力作功的

4、问题。当载荷Pi为任一中间值时，与此对应的位移增量为，这时为常力作功，其功为从而在整个加载过程中，外力对系统所作的功为克拉贝依隆（Clapeyron）原理线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。广义力广义位移FN(x)lT(x)M(x)FS(x)剪力引起的变形能很小往往忽略不计。对于广义变形问题（如右图）其变形能为拉伸弯曲扭转剪切12.4互等定理同时我们人为地规定如下加载次序加第一组载荷时，其变形能为为推导互等定理，我们选取两组载荷先加第一组载荷，后加第二组载荷于弹性体上然后加第二组载荷，这时由于第二组载荷的影响，会在第一组载荷的相应方向产生附加位移第

5、二组载荷自身所作的功为而第一组载荷在由于第二组载荷引起的附加位移上所作的功，是常力作功，即从而，本加载次序所作的总功为加第二组时先加第二组载荷，后加一第组载荷于弹性体上再加第一组时本加载次序所作总功为由于变形能只决定于力和位移的最终值，而与加力次序无关，故（功）互等定理第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。即若第一组力只有P1，第二组力只有P3，则功互等定理化为位移互等定理P1作用点沿P1方向因P3而引起的位移，等于P3作用点沿P3方向因P1而引起的位移。进一步，若有P1=P3，则上式化为位移互等定理12.5卡氏(Castigliano

6、)定理设想载荷Pi有一微小增量Pi，而其它力不变。则初始时系统变形能为由于Pi有一微小增量后系统变形能的增量为忽略高阶微量后得把原有诸力看作是第一组力，而把Pi看作是第二组力，根据互等定理，即或极限情况下，Pi趋近于零，上式左端是变形能U对Pi的偏导数，即卡氏（Castigliano）定理变形能U对任一载荷Pi的偏导数，等于Pi作用点沿Pi作用方向的位移i。附加力法例题轴线为四分之一圆周的平面曲杆，EI=常数。曲杆A端固定，自由端B上作用垂直集中力P。求B点的垂直和水平位移。附加力法i是与Pi对应的广义位移，从本题而言，求B点的垂直位移是可以直接利用卡氏定理的，但要求水平

7、位移时却不能直接进行。按照卡氏定理，y的值为正，说明y的方向与力P的方向一致。为了求得B点的水平位移，假定在B点沿水平方向作用一力Pa。对Pa使用卡氏定理，然后Pa令等于零就可以得到B点的水平位移。12.6虚功原理(virtualworkprinciple)若因其他原因，例如另外的外力或温度变化等，又引起杆件边形，则用虚线表示杆件位移到的位置。可把这种位移称为虚位移。“虚”位移只表示是其他原因造成的位移，以区别于杆件原因有外力引起的位移。约束所允许的位移称为虚位移