空间向量求角.ppt

《空间向量求角.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.2.3立体几何中的向量方法——空间“角”问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角范围：一、线线角：异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：xzy②向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小结①传统法：平移例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？所以与所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：所以：例2：练习：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为求AC1和CB1的夹角，ABCA1B1C1∴AC1和CB1的夹角为：xyZD直线与

2、平面所成角的范围：结论：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AOB例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O①向量法②传统法N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例4：N又在长方体中，例4：例5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz二面角的平面角必须满足：3）

3、角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：二面角的计算几何法：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16ll三、面面角：向量法关键：观察二面角的范围①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得例6.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B

4、1A1C1D1DCBAOMxyz由图可知二面角为锐角设平面例7ABCDEMN练习.如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，(Ⅰ)求证：DM⊥EB；(Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.EDCBAMzyx解:分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a，)DM⊥EB，即DM⊥EB(Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)D

5、B=(0，2a，－2a)由n⊥DB，n⊥DM得DM·EB=a(－2a)+a·2a+0=0(Ⅰ)证:DM=(a，a，－1.5a)，EB=(－2a，2a，0)，取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，又平面BDA的法向量为n1=(1，0，0)，cos即二面角M-BD-A的余弦值为EDCBAMzyx练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS与面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。则A（2，0，0）；于是

6、我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然有OABCSxyz⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）又∵OC⊥面AOS，∴是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角的大小等于OABCSxyz∴二面角B－AS－O的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为510课堂小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围