罗素悖论简介.docx

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1、罗素悖论简介1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了第三次数学危机。把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A?A}问，Q∈P还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A?A的性质，因为Q∈Q，所

2、以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=?，所以Q?Q，还是矛盾。这就是著名的“罗素悖论”。集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。超越范围则失效，这是永远不可避免或取消的。除非取消类的集合层次之间的区别，那么又不符合对待具体事物的态度，无法满足实际应用要求。另外

3、集合的本义与引申义常混合使用，有时与元素意义混同，集合在低层次相当于元素，当上升时为集合，当再次上升时又相当于元素，是累积式的。罗素悖论在当它们还没有进行相互联系时是有效的，当它们进行相互联系时即它们已经成为一个类或一个整体，那么一个类或一个整体中是不允许或无法执行两种衡量标准或规定的，自我否定是和没说一个样，或等于没有规定一样。罗素悖论的例子在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不

4、绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，却不知道该不该给自己刮脸，如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。1问题的解决罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值

5、的内容得以保存下来。”解决这一悖论在本质上存在两种选择，theZermelo-Fraenkelalternative和thevonNeumann-Bernaysalternative。1908年，策梅罗（ErnstZermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过AbrahamFraenkel的改进后被称为ZFaxioms。在该公理系统中，由于限制公理:P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且

6、仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的。因此罗素悖论在该系统中被避免了。解决悖论的意义虽然不能说逻辑类型论已经完全解决了上述悖论，但却可以说它极大地促进了逻辑的发展。人们试图解决悖论的意义，从数学上看，悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究，给数学以相对更加牢靠的基础；从逻辑上看，单以二值逻辑来说，它的值必须或真或假，即不能即真又假，然而，逻辑悖论却

7、使命题的值即真又假，无法确定，解决悖论的努力可以说是在企图维护形式逻辑的基本律；从哲学上看，人们解决悖论的努力能使自己的认识不断深化，从而对相对静止的思维形式和结构，以及它们之间错综复杂的层次和关系做更进一步的剖析。此外，上述努力对于反对诡辩论和相对主义也有一定的意义。近年来人类对于悖论虽然有了很深入的研究，但没有最终解决悖论问题。许多数学家和逻辑学家提出的方案基本上都是绕开悖论，而不是解决它，甚至有人声称悖论永远也无法破解。但悖论研究带给数学和逻辑的作用是巨大的。另外，悖论更能反映人们思维中的逻辑矛盾，三大基本思维规律的矛

8、盾律不应该是“并非P且非P”的形式，而应该是悖论的否定“并非P当且仅当非P”的形式，换句话说否定才是逻辑上真正的矛盾律。但我们相信：黑洞终将被人们所认识，悖论之谜也总有一天会被人们解开。2