梯形中的极值.doc

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1、梯形中的极值吴成章题目：（2005年乌鲁木齐市）四边形OABC为等腰梯形，OA//BC。在建立如图1所示的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O出发以每秒2个单位的速度向终点A运动；同时点N从B出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直x轴于P，连结AC交NP于Q，连结MQ。（1）写出C点坐标；（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示）；（3）求的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（4）当t取何值时，的面积最大；（5）当t为何值时，为等腰三角形。图1分析：本题以几何图形和直角坐标系为背景，从变化的角度设计问题，动静结合，涉及坐标、

2、函数、方程、不等式、三角形、梯形等知识，点多面广，但始终围绕着坐标进行，（1）、（2）分别为坐标与梯形、三角形的关系，（3）、（4）、（5）涉及坐标与三角形的问题、等腰三角形的联系。其设计很巧妙，从（1）到（5），逐层递进，一气呵气，（1）、（2）是基础，（5）则容易漏解，作为考题，入门较容易，全对也很难，有较好的区分度和信度；达到了既考查学生对基础知识的掌握情况，也考查学生对多信息的加工、综合处理能力的目标。解答：（1）由等腰梯形的性质知，点C的横坐标即点A、B的横坐标之差，纵坐标与点B的纵坐标相等，所以C（1，2）。（2）过C作轴于E，则CE=2，AE=3，PQ//CE，当动点N运动t秒

3、时，NB=t,点Q的横坐标为，纵坐标为，由PQ//CE得，从而，（3）点M以每秒2个单位运动，，当时，M运动到A点，不存在，故，的取值范围是。（4）由，当（5）为等腰三角形有三种可能：①若AQ=QM，，而，即，解得，当时，为等腰三角形。②若，则，解得：当时，为等腰三角形。③若，则，解得或（舍去）为等腰三角形。综上所述：当时，为等腰三角形。评注：动、静是既对立又统一的两个方面，解决动点问题，应寻找在“动”的过程中相对“静”（不变）的量，如本题的相似三角形；还要抓住某些关键点，引进参数t，将相关问题联系起来，促使问题顺利解决。解答本题的基础是理解横、纵坐标的意义，关键是要熟悉坐标与图形的联系，难

4、点是第（2）问，能借助相似三角形得到一个坐标的关系式。本题考查了学生对分类讨论、转化等基本的数学思想的运用。寻根本题设计的几个小题，都能在教材中找到它的“芳踪”，如点在数轴上运动，梯形、三角形、二次函数及最值等，它是把这些中考中的常见考点用“坐标”这根“红线”巧妙而有序的串起来。拓展：本题可以从条件和结论两方面加以拓展演变1.条件不变，结论探究：（1）当t取何值时，四边形OMQC的面积最小？（2）当t取何值时，QM//OC？（3）若三点B、Q、M共线，求t的值。[答案：（1）；（2）；（3）]2.改变条件，如：把原题中“四边形OABC为等腰梯形，OA//BC”变成“平行四边形OABC”（如图

5、2），然后探究（1）~（5）题的结论。图2[答案：（1）；（2）Q；（3）（）（4）；（5）]