第二章 线性方程组数值解法.docx

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1、第二章线性方程组数值解法A直接方法1.考虑方程组：(a)用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），(b)用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。2.(a)设A是对称阵且，经过高斯消去法一步后，A约化为证明A2是对称矩阵。(b)用高斯消去法解对称方程组：4.设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。5.由高斯消去法说明当时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。6.设A为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式。7.设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为

2、，其中证明（1）A的对角元素（2）A2是对称正定矩阵；（3）（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上；（5）（6）从（2），（3），（5）推出，如果，则对所有k8.设为指标为k的初等下三角阵，即（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同）求证当时，也是一个指标为k的初等下三角阵，其中为初等排列阵。9.试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。10.设，其中U为三角矩阵。(a)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。(b)计算解三角形方程组的乘除法次数。(c)设U为非奇异阵，试推导求的计算公式。11.证明（a）如果A是对称正定阵，则也是正定阵；（

3、b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成,其中L是具有正对角元的下三角阵。12.用高斯－约当方法求A的逆阵：13.用追赶法解三对角方程组，其中14.用改进的平方根法解方程组15.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？16.试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组.17.如果方阵A有，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导的计算公式，对1）；2）.18.设，计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。19.求证(a)，(b)。20.设且非奇异，又设为上一向量范数，定义。试证明是上的一种向量范数。21.设为对称正定

4、阵，定义，试证明为上向量的一种范数。22.设，求证。23.证明：当且尽当x和y线性相关且时，才有。24.分别描述中（画图）。25.令是（或）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数，证明。26.设为上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数，使对一切满足27.设，求证与特征值相等，即求证。28.设A为非奇异矩阵，求证。29.设A为非奇异矩阵，且，求证存在且有估计30.矩阵第一行乘以一数，成为。证明当时，有最小值。31.设A为对称正定矩阵，且其分解为，其中，求证(a)(b)32.设计算A的条件数。33.证明：如果A是正交阵，则。34.设且为上矩阵的算子范数，证明。B迭代法1.设方程组

5、(a)考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;(b)用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代终止．2.设,证明:即使级数也收敛．3.证明对于任意选择的A,序列收敛于零．４.设方程组迭代公式为求证:由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是5.设方程组(a)(b)试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。6.求证的充要条件是对任何向量x，都有7.设，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。8.设方程组(a)求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径；(b)求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵

6、的谱半径；(c)考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。9.用SOR方法解方程组（分别取松弛因子）精确解要求当时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数。10.用SOR方法解方程组（取＝0.9）要求当时迭代终止。11.设有方程组，其中A为对称正定阵，迭代公式试证明当时上述迭代法收敛（其中）。12.用高斯－塞德尔方法解，用记的第i个分量，且。(a)证明；(b)如果，其中是方程组的精确解，求证：其中。(c)设A是对称的，二次型证明。(d)由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向量是收敛的，则A是正定阵。13.设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方

7、程组其中。(a)找出下列迭代方法收敛的充要条件(b)找出下列迭代方法收敛的充要条件比较两个方法的收敛速度。14.证明矩阵对于是正定的，而雅可比迭代只对是收敛的。15.设，试说明A为可约矩阵。16.给定迭代过程，，其中，试证明：如果C的特征值，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。17.画出SOR迭代法的框图。18.设A为不可约弱对角优势阵且，求证：解的SOR方法收敛。19.设，其中A为非奇异阵。